שוויון (מתמטיקה)

במתמטיקה ובלוגיקה שוויון מציין זהות מוחלטת בין שני עצמים בכל מאפייניהם.
השוויון מסומן ב־'='; כותבים x = y אם ורק אם x ו־y הם אותו הדבר.
השוויון מופיע בכל תחומי המתמטיקה. מגדירים אותו בין מספרים, קבוצות, פונקציות (כללים שמקשרים קלט לפלט), גרפים וכדומה.
בכל ביטוי יש שני אגפים: אגף שמאלי ואגף ימני.
דוגמה פשוטה: 2 + 4 = 6. כאן צד אחד הוא הביטוי "2+4" והצד השני הוא המספר 6.

באופן פורמלי, שוויון בין איברים של קבוצה X מיוצג על ידי קבוצת כל הזוגות (x, x) עם x ב־X. כלומר כל איבר מזוהה עם עצמו.
שוויון הוא יחס שקילות. יחס שקילות מקיים שלוש תכונות חשובות:
- רפלקסיבי: כל איבר שווה לעצמו.
- סימטרי: אם a = b אז גם b = a.
- טרנזיטיבי: אם a = b ו־b = c אז a = c.

בנוסף, שוויון הוא אנטי־סימטרי. זה אומר שאם a קשור ל־b וגם b קשור ל־a אז בהכרח a = b. בגלל תכונה זו שוויון הוא גם יחס סדר מנוון, היחיד שהוא גם יחס שקילות וגם יחס סדר.
שוויון מקיים גם את תכונת ההחלפה: לכל A ול־B ולכל פונקציה F, אם A = B אז F(A) = F(B).
בתורת ההיסק (שדה בלוגיקה) תכונות השוויון נלקחות כאקסיומות, כלומר כנחות עבודה בסיסיות.

שוויון אומר ששני דברים זהים בדיוק.
משתמשים בסימן '=' כדי לכתוב שוויון.
למשל: 2 + 4 = 6. שני הצדדים מייצגים את אותו מספר.
שוויון מופיע בכל המתמטיקה, בין מספרים, קבוצות ופונקציות. פונקציה היא כלל שמקבל משהו ומחזיר משהו.
לשוויון יש שלוש תכונות חשובות:
- כל איבר שווה לעצמו.
- אם a = b אז גם b = a.
- אם a = b ו־b = c אז a = c.
אם שני דברים שווים, אפשר להחליף את האחד בשני בכל מקום. כלומר אם A = B אז כל כלל או פונקציה שנותנים תוצאה על A ייתנו אותה תוצאה על B.
בתחום הלוגיקה תכונות השוויון נקבעות כאקסיומות, כלומר כללים בסיסיים שנקבעים מראש.