מרחב וקטורי
מרחב וקטורי הוא מקום מתמטי שבו עושים שתי פעולות. הפעולות הן חיבור וכפל במספר. שדה הוא קבוצת מספרים שממנה לוקחים את המספרים. הווקטור הוא איבר במקום הזה. דוגמה פשוטה היא המקום של כל הנקודות עם שלשה מספרים. יש כללים חשובים: תמיד אפשר לחבר וקטורים ולקבל וקטור חדש. יש וקטור אפס שלא משנה בחיבור. לכל וקט...
הצגה (מתמטיקה)
צגה היא דרך להראות אובייקט מתמטי בצורה מוחשית. חבורה, קבוצה עם חוק שמשלב שני איברים. חוג, מבנה שיש בו חיבור וכפל. תמורות, פעולות שמחליפות איברים בקבוצה. אפשר גם לראות פעולות על וקטורים, חפצים במרחב וקטורי. הצגות עוזרות להבין ולהשוות בין דברים שמקורם ברעיונות מופשטים....
סכום ישר
סכום ישר הוא דרך לחבר כמה מבנים מתמטיים כך שכל חלק נשאר נפרד. סימן הנפוץ הוא ⊕. אם A הוא סכום ישר של B ו‑C, אז אפשר לראות את A כמקום שכולל את שני החלקים בלי שהם יתערבבו. במתמטיקה יש שיטה כללית לשוחח על מבנים ומפות ביניהם. לפי שיטה זו, סכום ישר הוא אובייקט שמקבל מכל חלק הזרקה ייחודית אליו. כלומר, ...
הישר הממשי
הישר הממשי מתאר את כל המספרים הממשיים כקו ישר. זהו קו שבו כל נקודה מייצגת מספר. אפשר לחבר מספרים על הישר ולהכפיל אותם בסקלר. מרחב וקטורי זה הוא מממד אחד, כלומר יש רק כיוון אחד על הקו. עוצמת הרצף אומרת שיש על הקו הרבה מאוד מספרים. קנטור הראה שאי אפשר לרשום את כולם אחד אחרי השני. על הישר יש מושג ש...
מודול (מבנה אלגברי)
מודול הוא קבוצה עם חיבור, שבה אפשר להכפיל איברים ב'מספרים' שנקראים חוג. חבורה אבלית פירושה שקיים חיבור עם איבר אפס. הכפל במספרים הזה נקרא כפל בסקלר. אם יש פעולה R×M→M שמכפילה כל מספר r באיבר m והתוצאה שומרת על חיבור, אז M הוא מודול מעל R. אפשר להגדיר כפל גם מצד ימין, ואז קוראים לו מודול ימני. מרחב...
ממד (מתמטיקה)
ממד אומר כמה דרכים אפשר לזוז או כמה דברים צריך לתאר מקום. נקודה היא אפס‑ממדית. קו הוא חד‑ממדי. מישור ומעגל הם דו‑ממדיים. קובייה וכדור הם תלת‑ממדיים. במרחב וקטורי הממד אומר כמה מספרים (קואורדינטות) צריך כדי לתאר נקודה. בסיס הוא קבוצה של כיוונים שמהם בונים את כל הנקודות. יריעה (כמו סדין או חבל) מק...
הצגה ליניארית
הצגה ליניארית היא דרך לראות איברי חבורה כאופרטורים על וקטורים. אופרטור הוא פעולה שממירה וקטור לווקטור אחר. זה נעשה על ידי העתקה ששומרת על חוקי החבורה. העתקה כזו קוראים הומומורפיזם. היא אומרת: כשמכפילים שני איברים בחבורה, זה כמו להרכיב שתי פעולות על הווקטור. אם המרחב קטן אפשר לכתוב את הפעולות כמטרי...
ממד (אלגברה ליניארית)
הממד הוא המספר של האיברים בבסיס. בסיס הוא קבוצה שממנה בונים את כל הווקטורים. בדוגמה ידועה, קו הוא ממד-1. מישור הוא ממד-2. החלל עם אורך, רוחב וגובה הוא ממד-3. ממד יכול להיות אפס או אפילו אינסוף. אם יש שתי קבוצות שמרכיבות חלקים מהמרחב, ה"חלק המשותף" מוריד ממספר הכולל. כלומר, כשמחברים שתי קבוצות, סופ...
מרחב (מתמטיקה)
מרחב הוא קבוצה עם כללים מיוחדים. קבוצה זו מכילה איברים שנקראים נקודות. יש סוגים שונים של מרחבים. מרחב מטרי אומר שיש דרך למדוד מרחק בין נקודות. מרחב הסתברות נותן כללים לחשב סיכויים. מרחב וקטורי מאפשר לחבר איברים ולהכפיל אותם במספרים. שדה הוא קבוצת מספרים שמשמשת להכפלות אלה. במרחב נורמי אפשר למדוד מ...
קבוצה חסומה
קבוצה חסומה היא קבוצה שכל הנקודות שלה יושבות בתוך כדור. כדור זה הוא כל הנקודות שהמרחק מהמרכז קטן ממספר קבוע. מרחק אומר כמה רחוק שתי נקודות אחת מן השנייה. בדוגמה של קו המספרים, קבוצה חסומה יכולה להיות בתוך קטע סופי. זאת אומרת, יש מספר אחד גדול מכולם ומספר אחד קטן מכולם. אם המרחק בין כל שתי נקודות...
סדרה (מתמטיקה)
סדרה היא רשימה מסודרת של פריטים. כל פריט מקבל מקום מספרי. סדרה יכולה להיגמר או להמשיך בלי סוף. סדרה שסופית נקראת גם רשימה. כותבים איברים בדרך כלל כך: a1,a2,a3,… . המספר אחרי האות מראה את המיקום. התכנסות פירושה שהאיברים מתקרבים לערך מסוים. חסומה משמעותה שהמספרים לא גדלים בלי סוף. סדרת קושי היא כ...
אופרטור
אופרטור הוא פעולה במתמטיקה. הוא מקבל דברים ומחזיר דבר חדש. האפרנדים (האופרנדים) הם הדברים שעליהם פועלים. אופרטורים נכתבים בכמה דרכים. דוגמה: \cos x כותבים את השם לפני x. n! כותבים אחרי המספר. 3+4 כותבים בין שני מספרים. יש גם כתיב שבו שמים את הסימן לפני המספרים, למשל +2,3 במקום 2+3. אופרטור ליניארי...
סביבה (מתמטיקה)
סביבה של נקודה היא קבוצה שמכילה אזור קטן סביב הנקודה. אזור קטן זה הוא קבוצה פתוחה. קבוצה פתוחה היא כזאת שלכל נקודה בה יש נקודות קרובות עוד. אם יש קבוצה N שמכילה קבוצה פתוחה שכוללת את הנקודה a, אז N היא סביבה של a. סביבה מנוקבת היא אותה סביבה בלי הנקודה עצמה. סביבה פתוחה היא סביבה שהיא גם קבוצה פתוח...
צירוף ליניארי
צירוף ליניארי זה סכום של כמה וקטורים. וקטור הוא דבר עם כיוון וגודל. לפני שמחברים, כל וקטור מוכפל במספר שנקרא סקלר. סקלר זה פשוט מספר רגיל. אם אפשר ליצור כל וקטור בקבוצה מיוצרים מסוימים, הקבוצה נקראת פורשת. קבוצה תלויה ליניארית היא כזאת שבה אפשר לבנות וקטור אחד מהשאר על ידי סכום כזה. וקטור האפס (שהוא...
תלות ליניארית
תלות ליניארית אומרת שווקטור אחד אפשר לקבל מחיבור של וקטורים אחרים. חיבור כזה נעשה אחרי שמכפילים כל וקטור במספרים פשוטים. דוגמה קלה: הווקטורים עם הרכיבים 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 לא תלויים. הם לא יכולים ליצור אחד את השני. אבל הווקטורים 2,-1,1 ; 1,0,1 ; 3,-1,2 כן תלויים. כי האחרון הוא סכום של השניים הראש...
מרחב מכפלה פנימית
זוהי דרך לחבר שני וקטורים. וקטור הוא סדרה של מספרים, כמו (x1,x2,x3). מכפלה זו לוקחת שני וקטורים ומחזירה מספר. לדוגמה, לוקטורים בשלוש מידות: \lang (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3. זה נקרא "מכפלה סקלרית". היא עוזרת למדוד אורך וזווית. אורך של וקטור מחושב כך: \|x...