נגזרת חלקית
נגזרת חלקית היא מדידה של שינוי בפונקציה עם כמה מספרים. משאירים את כל המספרים האחרים קבועים. כך רואים את ההשפעה של רק משתנה אחד. אם יש פונקציה של הרבה מספרים, מנגבים את כולם חוץ מאחד. הנגזרת החלקית היא קצב השינוי כשהמשתנה הזה משתנה מעט. e_i הוא וקטור יחידה, כלומר כיוון אחד בלבד. למשל f(x,y)=x^y. אם...
פונקציה סתומה
פונקציה סתומה היא משוואה שמקשרת בין x ו-y, ולא פירטה כ-y= משהו. דוגמה ידועה היא המעגל x^2+y^2=1. המשוואה הזו אומרת שמקומות על המעגל מקיימים את הנוסחה. יש שתי אפשרויות ל-y עבור כל x. כדי למצוא איך y משתנה כש-x משתנה, ניתן לגזור את שני צדי המשוואה. למשל במעגל מקבלים 2x + 2y y' = 0 ולכן y' = -x/y. y'...
משוואה דיפרנציאלית חלקית
משוואה דיפרנציאלית חלקית היא חוק מתמטי על פונקציה של כמה משתנים. פונקציה היא דבר שנותן מספר לכל מקום. נגזרת היא מדד לשינוי. נגזרת חלקית אומרים כשמסתכלים על שינוי לפי משתנה אחד בלבד. דוגמה פשוטה היא משוואת החום. היא אומרת איך טמפרטורה משתנה בזמן וברחבי המקום. כדי לפתור צריך לדעת מתחילים עם איזו טמ...
גרדיאנט
גרדיאנט הוא חץ שמראה לאן משהו עולה הכי הרבה. שדה סקלרי הוא פונקציה שנותנת מספר לכל נקודה. תארו מקום הררי. גובה כל נקודה הוא מספר. הגרדיאנט בנקודה מראה את כיוון העלייה הכי תלול. אם משחרירים כדור, הוא יגלגל בכיוון ההפוך לחץ הזה. כותבים גרדיאנט כך: ∇f. הסימן ∇ קוראים "דל" או "נבלה". בכתיבה פשוטה בת...
דיפרנציאל (מתמטיקה)
דיפרנציאל הוא קירוב ליניארי של פונקציה סביב נקודה. קירוב = הערכה קרובה. ליניארי = דבר שפועל כמו קו ישר. אם פונקציה מתנהגת יפה סביב נקודה p, אפשר להחליף אותה בקו שעוזר לחשב שינויים קטנים. הקו הזה קוראים לו D_p. יש גם שגיאה קטנה שיורדת לאפס כשנקרב לנקודה. בודקים את הקו על וקטורי היחידה e_i. התוצאה ה...
פונקציה דיפרנציאבילית
פונקציה היא חוק שמקבל כמה מספרים ומחזיר מספר. דיפרנציאבילית (פירוש: ניתנת לקירוב בקו ישר) משמעה: ליד נקודה אפשר להחליף את הפונקציה בחוק פשוט וקווי. הטעויות שנשארות נהיות קטנות מאוד כשמשנים מעט את הקלט. אם פונקציה דיפרנציאבילית, היא גם רציפה. יש לה נגזרות חלקיות (נגזרות חלקיות = כמה משתנה אחד משת...
נגזרת
הנגזרת אומרת כמה פונקציה משתנה כשמשנים מעט את הקלט. הקלט יכול להיות זמן או מספר אחר. הנגזרת בפיזיקה לדוגמה במהירות: המהירות היא השינוי של המקום לפי הזמן. התאוצה היא שינוי המהירות לפי הזמן. הנגזרת היא הגבול של יחס השינוי (השינוי בערך חלקי השינוי בקלט) כשהשינוי קטן מאוד. זה גם השיפוע של המשיק לעקו...
משפט פרמה (לנקודות קיצון)
לפי פרמה, אם פונקציה חלקה יש לה "שיפוע" בנקודה. שיפוע זה נקרא נגזרת. אם בנקודה יש פסגה או שקע מקומי, השיפוע יהיה אפס. זוהי דרך לומר שהמשיק לפונקציה שם ישר ואופקי. זה לא אומר שכל נקודה עם שיפוע אפס היא פסגה. לפעמים השיפוע אפס אבל אין פסגה. ניקח פסגה מקומית. סביב הפסגה כל הנקודות קרובות לה הן נמוכ...
הסכם הסכימה של איינשטיין
טנזור הוא ארגז של מספרים. כל מספר מקושר לתווית שנקראת אינדקס. דרגת הטנזור אומרת כמה תוויות יש. יש שני סוגי אינדקסים. אינדקס עליון ואינדקס תחתון. אפשר לשנות אינדקס עליון לתחתון בעזרת מטריקה. מטריקה היא כמו טבלה שמגדירה מרחקים. חוק האיינשטיין אומר: אם אותו אינדקס מופיע פעם למעלה ופעם למטה, מסכמים ...