משפט קזוראטי-ויירשטראס
משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא רעיון במתמטיקה של המספרים המרוכבים. השם מגיע משני מתמטיקאים חשובים, קזוראטי וויירשטראס. ברוסיה קוראים לו גם על שם סוחוצקי. קיימת פונקציה מיוחדת f של מספרים מורכבים. היא מתנהגת טוב בכל מקום חוץ מנקודה אחת שנקראת סינגולריות עיקרית. המשפט אומר: אם מתקרבים לנקודה הזאת, התמונו...
משפטי ויירשטראס
יש שני משפטים חשובים על פונקציות רציפות (פונקציה ששינוי קטן בקלט מביא לשינוי קטן בתוצאה). הם מדברים על פונקציות המוגדרות על קטע סגור וחסום, כלומר על טווח מספרים שאפשר לסגור בשתי נקודות. המשפט הראשון: פונקציה כזאת לא יכולה לגדול בלי סוף. זאת אומרת, כל הערכים שלה נשארים בתוך גבול מסוים. המשפט השני...
קארל ויירשטראס
קארל ויירשטראס (1815, 1897) היה מתמטיקאי גרמני חשוב. קוראים לו "אבי האנליזה". אנליזה היא חקר גבולות ושינוי. גבול הוא איך משהו מתקרב לערך. נגזרת היא מדד לשינוי, כמו שיפוע במתמטיקה. ויירשטראס עשה סדר ברעיונות האלה. הוא המציא דרך מדויקת להגדיר מתי סדרה מתקרבת לערך. הוא הראה דוגמה מפתיעה ב-1872: פונקצ...
משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
תורת הקירובים
תורת הקירובים עוסקת בדרך למצוא חיבורים פשוטים שמדמים פונקציות מסובכות. פולינום הוא חיבור של חזקות של x. מחשבים אוהבים פולינומים כי הם קלים לחישוב. אם רוצים לחשב פונקציה קשה, מקרבים אותה בפולינום. ככל שמגבירים את דרגת הפולינום יש שגיאה קטנה יותר. משפט ויירשטראס אומר שאפשר לקרב כל פונקציה רציפה על ק...
גבול (מתמטיקה)
גבול הוא רעיון חשוב במתמטיקה. הוא מראה מה קורה בסוף של תהליך ארוך. נקודת גבול של קבוצה היא נקודה שבה קרוב לה יש עוד נקודות מהקבוצה. מרחב מטרי זה מקום שבו יש מרחק בין נקודות. למשל, הסדרה 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... מתקרבת ל-0. זה אומר שאחרי מספיק איברים כולם קרובים ל-0. הסדרה 0,1,0,1,... לא מתקרבת לשום ד...
גבול של פונקציה
״גבול של פונקציה״ הוא הרעיון לאן הערכים של פונקציה שואפים כשהx מתקרב לנקודה. אם פונקציה קרובה לערך מסוים כשהx מתקרב לנקודה, אומרים שהגבול שם הוא אותו ערך. הפונקציה לא חייבת להיות מוגדרת בדיוק באותה נקודה. דוגמה קלה: הפונקציה שווה ל־0 בכל מקום חוץ מ־0. בערך 0 היא שווה ל־1. למרות זאת, הגבול ב־0 הוא ...
חשבון אינפיניטסימלי
חשבון אינפיניטסימלי הוא חלק במתמטיקה שעוסק בשינוי. רעיון חשוב הוא גבול. גבול זה אומר שהמספר מתקרב אליו יותר ויותר. החשבון נחלק לשתי חלקים: חישוב נגזרות וחישוב אינטגרלים. נגזרת היא קצב השינוי. אינטגרל הוא סכום גדול, לעתים שטח מתחת לעקומה. המשפט היסודי אומר שאם עושים נגזרת ואחר כך אינטגרל חוזרים למ...
עקום אליפטי
עקום אליפטי הוא סוג של עקומה מתמטית. עקומה היא קו או צורה המוגדרים על ידי משוואה. עקומים אליפטיים חשובים בלימוד המתמטיקה. על העקומה אפשר "להוסיף" נקודות. נקודת האינסוף היא האפס של הפעולה הזו. כלל פשוט קובע: אם ישר חותך את העקום בשלוש נקודות אז שלושתן קשורות ביחד. אם הישר משיק, אז נקודה נחשבת פעמי...
פונקציה חסומה
פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה חסומה אומרת שכל הערכים שלה לא גדולים מדי. זה אומר: יש מספר קבוע שממנו אף ערך לא גדול מאוד. אם כל הערכים של הפונקציה נמצאים בתוך קטע קטן, הפונקציה חסומה. פונקציה חסומה גם אם היא גם חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה. "חסומה מלמעלה" אומרת שיש גבול עליון שלא ע...
משפט קנטור לרציפות במידה שווה
משפט קנטור אומר: אם פונקציה רציפה על קטע סגור, היא רציפה באותו אופן בכל הקטע. רציפה כאן פירושה שאין קפיצות פתאומיות בתוצאות. רציפות במידה שווה (אחידה) פירושה: אותו כלל קטן של שינוי ב-x עובד לכל נקודה בקטע. נניח שהפונקציה רציפה אבל לא אחידה. אז יש מרחק קטן רציף בין כל זוג נקודות x_n ו-y_n, אבל הערכי...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
קבוצה קומפקטית
קבוצה קומפקטית היא קבוצה שאפשר "לכסות" בכמה פתוחות ואז לבחור מעט מהן שעדיין מכסות. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שאיחודן כולל את כל הנקודות. תת-כיסוי הוא כמה קבוצות מהכיסוי הזה שמכסות גם כן. חוקרים למדו את הרעיון הזה לפני מאה שנים. דוגמאות חשובות עזרו להבין את המושג. אם מכל כיסוי פתוח אפשר ל...