אידיאל ראשוני
אידיאל ראשוני הוא קבוצת אלמנטים בחוג. חוג הוא מערכת של מספרים עם חיבור וכפל. אם מכפלת שני איברים נכנסה לאידיאל, אז אחד מהאיברים כבר שם. בדוגמה מוכרת, במספרים השלמים (הז), האידיאל שנוצר על ידי n הוא ראשוני אם n הוא מספר ראשוני. כל אידיאל מקסימלי תמיד ראשוני. ניתן "למקד" את החוג סביב אידיאל ראשוני P...
סדרת סילבסטר
סדרת סילבסטר היא רשימה של מספרים שמתחילה ב-2. כדי לקבל מספר חדש מכפילים את המספר הקודם בעצמו פחות 1 ואז מוסיפים 1. כך מקבלים סדרה של מספרים גדלים. כל מספר שווה גם ל-1 ועוד המכפלה של כל המספרים שלפניו. בגלל זה כל שני מספרים ברשימה לא חולקים מחלקים (אין להם מחלק משותף חוץ מ-1). זה עוזר להראות שיש הרבה...
צפיפות דיריכלה
צפיפות דיריכלה היא דרך להראות כמה גדולה קבוצה בתוך קבוצה אחרת. זהו כלי במתמטיקה שנמצא בשימוש בתורת המספרים, חקר המספרים השלמים. דיריכלה השתמש בזה כדי להראות שיש אין סוף מספרים ראשוניים בסדרות מסוימות. סדרה חשבונית היא סדרת מספרים כמו a, a+n, a+2n, ... דיריכלה הראה שאם a ו-n אינם מתחלקים יחד, אז בין ...
טור דיריכלה
טור דיריכלה הוא סכום של ביטויים מהצורה a_n לחלק ב-n^s. a_n הם מספרים קבועים. s הוא מספר מיוחד שנקרא מרוכב. טורים כאלה נראו כבר במאה ה-17. אוילר קישר אותם למספרים ראשוניים. דיריכלה השתמש בהם כדי להראות שיש אינסוף מספרים ראשוניים ברשימות מסוימות של מספרים (רשימה עם הפרש קבוע בין האיברים). הדוגמה המפ...
מספר ראשוני
מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ־1. הוא מתחלק רק ב־1 ובעצמו. לדוגמה: 2, 3 ו־5. מספר שאפשר לחלקו למספרים אחרים נקרא פריק. פריק הוא מספר שאינו ראשוני. מספרים ראשוניים הם אבני־בניין. מכלם אפשר להרכיב כל מספר אחר בעזרת כפל. לכן הם חשובים במתמטיקה ובמחשב. אוקלידס הראה שאי אפשר למנות את כל הראשוניים. הו...
פונקציית אוילר
פונקציית אוילר נקראת על שם אוילר. מסמנים אותה φ (פי). φ(n) סופר כמה מספרים קטנים מ‑n הם "זרים" לו. זר אומר שאין להם מחלק משותף עם n חוץ מ‑1. לדוגמה: φ(5)=4 כי 1,2,3,4 זרים ל‑5. φ(6)=2 כי רק 1 ו‑5 זרים ל‑6. אם p הוא מספר ראשוני, אז φ(p)=p−1. אם יש חזקה של ראשוני p^s נקבל φ(p^s)=p^s−p^{s−1}. הפונקצ...
פירוק לגורמים של מספר שלם
פירוק לגורמים means לחלק מספר למספרים קטנים יותר שמוכפלים יחדיו. מספרים ראשוניים הם אבנטי־בניין, אי אפשר לחלק אותם עוד. לכל מספר גדול מ-1 יש פירוק ראשוני יחיד. לדוגמה: 6936 מפורק כ-2^3·3·17^2. זה אומר 6936 עשוי ממכפלות של 2,3 ו-17. ככל שהמספר גדול יותר, קשה יותר לפרקו. זה שימושי במיוחד בהצפנה. מער...
ז'אק אדמר
ז'אק סלומון אדמר נולד ב-1865 ומת ב-1963. הוא היה מתמטיקאי יהודי-צרפתי. אדמר התחיל לפרסם עבודות כבר כשהיה צעיר. הוא היה פרופסור בבורדו ובסורבון. ב-1896 הוא ווואלה פוסן הוכיחו משהו חשוב על מספרים ראשוניים. מספרים ראשוניים הם מספרים שאפשר לחלק בהם רק ב-1 ובעצמם. אדמר עזר להראות שדרייפוס חף מפשע. דרי...
הפרכה
הפרכה אומרת שהראינו שטענה לא נכונה. במתמטיקה הפרכה היא הוכחה שהשלילה נכונה. מספיק למצוא דוגמה אחת שמפריכה. למשל, הטענה "כל הראשוניים אי-זוגיים" נפרכת על ידי 2. לפעמים צריך הוכחה מורכבת. כך מראים שיש אינסוף מספרים ראשוניים על ידי הנחה שמובילה לסתירה. במדע ניסויים תומכים ברעיונות, אבל הם לא מוכיחים ...
ארטוסתנס
ארטוסתנס חי לפני הרבה שנים, בין 276 ל-194 לפנה"ס. הוא היה מתמטיקאי, גאוגרף ואסטרונום. הישג גדול שלו הוא שאמד את גודל כדור הארץ. נולד בקירנה. למד בבתי ספר ותורגל גם בספורט. למד באתונה ואז עבר לאלכסנדריה. בשנת 240 לפנה"ס קיבל תפקיד חשוב בספרייה הגדולה. הוא טיפח ספרים ועזר ללמד. בסוף חייו איבד את הראי...
אוקלידס
אוקלידס (365, 275 לפנה"ס) היה מתמטיקאי יווני מפורסם. הוא עובד באלכסנדריה במצרים. אנו יודעים מעט על חייו. רוב המידע אודותיו הגיע מאנשים שכתבו עליו מאות שנים אחרי מותו. יתכן שלמד באקדמיה של אפלטון. אוקלידס כתב ספר גדול בשם "היסודות". הספר מסדר רעיונות במתמטיקה בצורה ברורה. הוא השתמש באקסיומות. אקסיו...
לוגריתם טבעי
לוגריתם טבעי הוא סוג של "לוגריתם". לוגריתם הוא דרך למדוד חזקה. הבסיס של הלוגריתם הטבעי הוא מספר מיוחד שנקרא e. e זה מספר בערך 2.718281828. מסמנים אותו ln(x). ln אומר: מה החזקה שצריך ל־e כדי לקבל x. לדוגמה, ln(e)=1. הלוגריתם טבעי עובד בשביל מספרים חיוביים. אפשר גם להרחיב אותו למספרים עם חלק דמיוני...
פפנוטי צ'בישב
צ'בישב נולד ב-1821 בכפר קטן ברוסיה. הוא למד במוסקבה והיה פרופסור בסנקט פטרבורג. הוא חקר הסתברות. הסתברות אומרת כמה משהו יכול לקרות. צ'בישב גילה כלל שמגביל כמה ערכים יכולים להתרחק מהממוצע. סטיית התקן מסבירה כמה הערכים מתפזרים סביב הממוצע. גם חקר מספרים ראשוניים. מספר ראשוני מתחלק רק בעצמו וב-1. הו...
פונקציית זטא של רימן
פונקציית זטא של רימן היא כלי מתמטי חשוב. פונקציה מרוכבת היא פונקציה שעובדת עם מספרים שיש חלק ממשי וחלק מדומה. הפונקציה נקראת על שם רימן. את הזטא אפשר לכתוב כסכום של ביטויים פשוטים, אבל זה עובד רק באזור מסוים. לכן משתמשים ב"המשכה אנליטית", דרך להגדיר אותה גם במקומות אחרים. הדבר המרתק בזטא הוא שהיא...
משפט דה ברנז'
משפט דה ברנז' היה פעם השערת ביברבך. ביברבך הציע אותה ב-1916. לואי דה ברנז' הוכיח אותה ב-1985. מדובר בפונקציה על עיגול סביב האפס. פונקציה אוניוולנטית פירושה: היא לא נותנת את אותו ערך לשתי נקודות שונות. הולומורפית פירושה: אפשר לחשב לה נגזרת. כשהפונקציה נכתבת כסדרה של חזקות, יש לה סדרות של מספרים שנקרא...
השערת רימן
בשנת 1859 המתמטיקאי ברנהרד רימן הציע רעיון חשוב. הוא אמר שיש נקודות מיוחדות בפונקציה שנקראת "זטא". נקודות אלה נקראות אפסים. אפס הוא מקום שבו הערך שווה לאפס. פונקציית זטא מתחילה כסכום של ביטויים. ניתן גם להגדיר אותה במקום אחר בעזרת פעולה שנקראת המשכה אנליטית (זו דרך להרחיב את ההגדרה). יש לה "אפסים ...
שארל דה לה ואלה פוסן
שארל דה לה ואלה פוסן (1866, 1962) היה מתמטיקאי מבלגיה. ב‑1896 הוכיח משפט חשוב על מספרים ראשוניים. מספרים ראשוניים הם מספרים שאפשר לחלק רק ב‑1 ובאותו המספר. פוסן כתב ספר בשם Cours d'analyse על פונקציות. הוא הנהיג את המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת לוון ליותר מ‑50 שנים. בשנת 1928 המלך אלברט נתן לו את התוא...
השערת הארדי-ליטלווד השנייה
זו השערה על מספרים ראשוניים. ראשוני, מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. ההשערה אומרת: אם לוקחים חלון של אורך y, כמות הראשוניים לא תגדל כשמזיזים את החלון. אם יש דוגמה שמפריכה את זה, נקודת ההתחלה צריכה להיות גדולה מאוד. היא חייבת להיות גדולה הרבה יותר מהאורך של החלון....
תורת המספרים
תורת המספרים חוקרת מספרים טבעיים. יש שאלות פשוטות להציג אבל קשה לפתור. למשל משפט פרמה האחרון נפתר. יש גם השערות פתוחות, כמו גולדבך שאומר שכל מספר זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני ראשוניים. ראשוני, מספר שמתחלק רק ב־1 ובו עצמו. בתחום זה יש כמה חלקים קצרים: - תורת המספרים האלמנטרית בודקת חלוקה ומציאת ...
מספר חסר
מספר חסר הוא מספר שבו סכום כל המחלקים שלו קטן מ‑2 כפול המספר. σ(n) היא פונקציה שמחשבת את סכום כל המחלקים החיוביים של n. היא כוללת גם את n עצמו. ההפרש 2n−σ(n) נקרא "החסרות". דוגמאות של מספרים חסרים: 1, 2, 3, 4, 5. יש אינסוף מספרים חסרים. עוד עובדה פשוטה: כל מספר ראשוני וחזקות שלו הם חסרים. ...
ויגו ברון
ויגו ברון נולד ב-1885 ונפטר ב-1978. הוא היה מתמטיקאי מנורווגיה. הוא למד באוסלו ובגטינגן. בשנותיו כמורה לימד בטכניקום של טרונדהיים ואז באוניברסיטת אוסלו. ברון חקר זוגות של מספרים מיוחדים שנקראים ראשוניים תאומים. ראשוניים תאומים הם שני מספרים ראשוניים שמרחקם 2. הוא גילה שמשהו עם אלה, סכום הערכים ...
מספר מזל (מתמטיקה)
מספר מזל הוא מספר שנשאר אחרי שמסירים מספרים בדרך מיוחדת. הדרך הזו נקראת ניפוי. ניפוי היא פשוט דרך לסנן מספרים. מתחילים בסידור המספרים: 1, 2, 3, 4, 5, ... . קודם מסירים את כל הזוגיים. נשארים 1, 3, 5, 7, 9, ... . אחר כך רואים את המספר השני, 3, ומסירים כל מספר שלישי ברשימה. אחר כך בוחרים את המספר הבא ...
הנפה של ארטוסתנס
נפת ארטוסתנס עוזרת למצוא מספרים מיוחדים שנקראים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק ב‑1 ובעצמו. ככה עובדים: כותבים את המספרים מ‑2 ועד n. מקפידים על המספר הכי קטן שלא סומן. הוא ראשוני. מוחקים את כל הכפולות שלו. כפולה היא תוצאה של הכפלה, למשל 3 כפול 2 שווה 6. חוזרים על זה עם המספר הבא שלא סומן. ...
המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה
״המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה״ הוא ספר של מארק האדון. כריסטופר בון הוא נער בן 15. הוא אוטיסט. זה אומר שמוחו עובד אחרת והוא מתקשה בהבנת רגשות. כריסטופר מוצא את כלב השכנה מת. הוא רוצה לדעת מי עשה את זה. הוא מתחיל לחקור לבד. אבא שלו שיקר לו. אימו לא מתה. היא עזבה ועברה ללונדון. כריסטופר מפחד מאביו ...
כמעט כל (מתמטיקה)
"כמעט כל" אומר "רוב גדול מאוד". זה אומר הכל חוץ מקבוצה קטנה. כשבודקים סדרה של מספרים, אומרים "כמעט כל" אם רק מספרים בודדים יוצאים מן הכלל. למשל, אם הסדרה מתקרבת למספר x, אז כל רוב האיברים קרובים ל‑x. אפשר למדוד כמה חלק מהמספרים מקיימים תכונה. אם החלק שלהם מתקרב ל‑100% כשבודקים מספרים גדולים יותר, או...
המלון של הילברט
יש מלון עם חדרים שמסומנים 1, 2, 3, ... . יש בו אינסוף חדרים. אינסוף אומר "לא נגמר". כל החדרים מלאים. מגיע אורח נוסף. בעל המלון מבקש מכל אחד לעבור לחדר הבא. מי שהיה בחדר 1 עובר ל‑2. כך חדר 1 מתפנה. אחר כך מגיעים אינסוף אורחים. הבעלים מזיז כל אורח לחדר זוגי. אז כל החדרים האי‑זוגיים ריקים. הוא שם שם...