טור טיילור
טור טיילור הוא דרך לבנות פולינום (ביטוי עם חזקות) שמקרב פונקציה סביב נקודה מסוימת x_0. כל איבר בטור משתמש ב"נגזרת" של הפונקציה. נגזרת היא כמה הפונקציה מתאיצה או משתנה. המחשבה פשוטה: אם יודעים את הערך של פונקציה בנקודה, אפשר לנחש את הערכים הקרובים על ידי פולינום קצר. אם מוסיפים גם את המהירות, מקבלי...
פונקציה שלמה
פונקציה שלמה היא פונקציה שמוגדרת ו"מתאימה" לכל מקום במישור המרוכב (מקום של מספרים עם חלק דמיוני). הולומורפית פירושו שאפשר לחשב לה נגזרת בכל נקודה (נגזרת = קצב שינוי). דוגמאות שאפשר להכיר: פולינומים ופונקציית האקספוננט. גם סינוס וקוסינוס הם דוגמאות, כי הם קשורים לאקספוננט לפי נוסחת אוילר. כל פונקצי...
ברוק טיילור
ברוק טיילור (1685, 1731) היה מתמטיקאי אנגלי. שמים כמו טור טיילור נשמרו לזכרו. הוא נולד בעיירה בשם אדמונטון. המשפחה שלו הייתה עשירה. הוא למד גם מוזיקה ואמנות. בגיל צעיר הלך ללמוד בקיימברידג'. טיילור אהב מתמטיקה. הוא כתב עבודה על נקודה שבה גוף מתנודד. העבודה פורסמה מאוחר יותר וזה יצר ריב עם מתמטיקאי ...
אוגוסטן לואי קושי
אוגוסטן לואי קושי נולד בפריז ב‑1789. הוא למד הנדסה ומתמטיקה. אביו הכיר מתמטיקאים חשובים. הוא עבד במקומות כמו האקול פוליטקניק. נסע לאיטליה ולמד בטורינו. לימד גם נערים של משפחות חשובות. קושי היה מתמטיקאי שקפדן על הוכחות. זאת אומרת שהוא רצה שכל דבר יהיה מוסבר בדיוק. הוא פרסם הרבה מאמרים על נושאים שו...
פרטורבציה (אסטרונומיה)
פרטורבציה אומרת הפרעה קטנה. זה שינוי קטן בבעיה שאפשר לחשב בקלות. קירוב ליניארי, מחשבים רק את החלק הפשוט. טור טיילור, שיטה שמחלקת פונקציה לחלקים קטנים לחשבון. באסטרונומיה זה כשכוחות של השמש והכוכבים משנים קצת את המסלולים. השינויים חוזרים על עצמם. חלקם גדולים וחלקם קטנים מאוד....
סימון אסימפטוטי
סימון אסימפטוטי מסביר איך פונקציות מתנהגות כשמספרים גדלים מאוד. זה עוזר להשוות מי גדל מהר יותר. יש פונקציה שמשרתת כמדד להשוואה. בדוגמאות לרוב מדובר במספרים טבעיים וחיוביים. O אומר שפונקציה f לא תגדל מהר יותר מהמדרג g, אפילו אם נכפיל את g במספר קבוע. זה עוזר להתמקד בחלק הגדול ביותר בפונקציה. o אומ...
הגבול של sin(x)/x
כאשר הזווית x מאוד קטנה, היחס sin(x) חלקי x שווה בערך ל-1. רדיאן אומר שזווית נמדדת לפי אורך קשת על מעגל רדיוס 1. במעגל יחידה בונים משולש AOB עם מרכז O. מהנקודה B יורד גובה ל-A ומסמן נקודה C. מנקודה A עולה קו עד ל-OB ומסמן נקודה D. בניתוח, BC הוא סינוס של x (sin), AD הוא טנגנס של x (tan), והקשת AB א...
תורת ההפרעות
תורת ההפרעות זו דרך למצוא פתרונות מקורבים לבעיות קשות. הפרעה זה שינוי קטן במצב שכבר יודעים. חשבו על שלולית מים. כשהמים שקטים הפנים חלקים. אם נגיע גלים קטנים הם הפרעה. כשגלים קטנים, אפשר לחזות בקלות איך הם יתנהגו. ברעיון המתמטי מתחילים בפתרון פשוט שלא כולל את ה"הפרעה". אחר כך מוסיפים שינויים קטנים,...
שורש ריבועי
שורש ריבועי הוא מספר שמוכפל בעצמו נותן מספר אחר. למשל, 10 מוכפל ב־10 שווה 100. לכן 10 הוא שורש ריבועי של 100. לכל מספר חיובי יש שני שורשים. אחד גדול וחיובי ואחד שלילי. ל־100 יש את 10 ואת −10. כשכועסים אומרים רק על השורש החיובי. מספרים שליליים בלי חלק דמיוני אין להם שורש אמיתי. כדי לפתור את זה המצ...
טור חזקות
טור חזקות הוא סכום של חזקות של x סביב נקודה c. כל חלק נקרא a_n(x-c)^n. a_n הם המקדמים. טורי חזקות עובדים טוב בתוך מרחק מסוים מ-c. המרחק הזה נקרא רדיוס התכנסות. אם הרדיוס גדול מאוד, הטור עובד כמעט תמיד. לכל טור יש דרך לחשב את המרחק הזה. אפשר לחבר או לחסר טורים על ידי חיבור המקדמים. מכפלה של טורים י...
פונקציה הולומורפית
פונקציה הולומורפית היא פונקציה של מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים:\nחלק ממשי וחלק מדומה. פונקציה הולומורפית ניתנת לגזירה בכל נקודה בסביבה שלה. גזירה כאן אומרת שאפשר לחשב "שיפוע" של הפונקציה במובן מיוחד. עיקרון חשוב: הנגזרת של פונקציה הולומורפית לא תלויה בדרך שבה מתקרבים לנקודה. ז...
נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
נוסחת אוילר מחברת בין פונקציות מתמטיות מוכרות. היא אומרת שמחבר בכללים בין האקספוננטי לסינוס ולקוסינוס. אם בוחרים זווית בשם פאי, מקבלים תוצאה מיוחדת: e בחזקת i כפול פאי שווה -1. לכן e בחזקת iפאי ועוד 1 שווה 0. זהו חיבור יפה בין מספרים חשובים. כל מספר מרוכב אפשר לתאר על ידי אורך וזווית. האורך נקרא מ...
טנגנס
טנגנס היא דרך להשוות שתי צלעות במשולש ישר־זווית. היא לוקחת זווית ומחזירה כמה גדול הניצב שמול הזווית ביחס לניצב שלידה. זה נכון לזוויות בין 0° ל־90°. אפשר להגדיר טנגנס גם לכל זווית בעזרת מעגל. הטנגנס לא קיים בזוויות של 90° ועוד 180° כל פעם. זאת כי אז נחלק ב־0. קוטנגנס הוא פונקציה קשורה. אפשר למצוא ...
קוסינוס
קוסינוס היא דרך למצוא מספר בין -1 ל-1 שמקשור לזוויות. במשולש ישר הזווית, קוסינוס של זווית הוא אורך הצלע שליד הזווית חלקי אורך היתר. היתר הוא הצלע הכי ארוכה במשולש. על מעגל ברדיוס 1, כל נקודה מקושרת לזווית. הקוסינוס הוא פשוט הערך של x של אותה נקודה. כך אפשר לחשב קוסינוס לכל זווית. קוסינוס אפשר...
רדיאן
רדיאן הוא דרך למדוד זוויות. זווית היא הפינה שנוצרת כששתי קווים נפגשות. הגדרה: רדיאן נוצר כשקשת של המעגל שווה באורכה לרדיוס. רדיוס (המרחק מהמרכז לקצה המעגל) הוא החוליה החשובה כאן. מעגל שלם מחולק ל‑360 מעלות. אותו מעגל מחולק גם ליקרים של רדיאנים שקשורים למספר המיוחד שנקרא פאי (π). מדענים ומתמטיקאים...