משפט קירכהוף
משפט קירכהוף מסביר איך לחשב כמה עצים פורשים יש בגרף. מטריצה (טבלה של מספרים) חשובה כאן נקראת הלפלסיאן. הלפלסיאן L נוצרת מ־D - A. D היא טבלה עם דרגות הקודקודים על האלכסון. דרגה = כמה שכנים יש לקודקוד. A היא טבלת השכנויות, שמראה מי מחובר למי. ערכים עצמיים (מספרים מיוחדים של המטריצה) של הלפלסיאן אינם...
גודל פיזיקלי
גודל פיזיקלי (תכונה שאפשר למדוד) הוא משהו שמודדים. דוגמאות: זמן, אורך ומהירות. לכל גודל יש יחידת מידה (איך מודדים), כמו שניות או מטרים. היחידה נותנת משמעות למספר. למשל: "40 דקות" מראה זמן, ו"40 ק"מ" מראה מרחק. כדי שזה יחשב לגודל פיזיקלי צריכים שלושה דברים: הגדרה ברורה, דרך למדוד או לחשב, ויחידת מד...
אופרטור הרמיטי
אופרטור הרמיטי הוא פעולה על וקטורים. וקטור הוא רשימת מספרים. פעולה זו שווה ל"צמוד" שלה. הצמוד הוא אופרטור שמקיים ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A^*y⟩. ההסבר הקצר: הצמוד הוא כמו מראה של הפעולה. תכונה חשובה: הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי הם תמיד מספרים ממשיים. ערך עצמאי (eigenvalue) הוא המספר λ שעבורו Av = λv. כשעו...
פולינום אופייני
פולינום אופייני עוזר ללמוד מטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. יש דרך לחבר מספר מהטבלה שמקראים לו דטרמיננטה. יש גם מטריצת זהות, מטריצה מיוחדת עם 1 על הקו מהפינה לפינה. כדי לקבל את הפולינום האופייני עושים חישוב שמשתמש בדטרמיננטה ובמטריצה. השורשים של הפולינום הם הערכים העצמיים. ערכים עצמיים הם מספרים ...
דמיון מטריצות
דמיון הוא יחס בין מטריצות ריבועיות בגודל אותו דבר. מטריצה (טבלה של מספרים) נקראת דומה לאחרת אם הן מייצגות את אותה פעולה על וקטורים. וקטור (רשימת מספרים) הוא מה שמקבלים כשמחליפים מקום או גודל. אומרים שמטריצות דומות אם יש דרך להמיר אחת לשנייה בעזרת מטריצה הפיכה. מטריצה הפיכה היא כזו שאפשר "לבטל" אותה...
הפרדת משתנים
הפרדת משתנים היא דרך פשוטה לפתור משוואות שיש בהן נגזרות. נגזרת היא קצב שינוי של פונקציה. הרעיון: לסדר את המשוואה כך שכל צד תלוי רק במשתנה אחד. משתמשים בזה כדי לחלק בעיה קשה לשתיים קלות. כל צד מנוהל ונפתר בנפרד, ואז מחברים בחזרה. במשוואות עם הרבה משתנים, מפרידים את הפתרון למכפלה של שתי פונקציות. ...
נוסחאות ויאטה
נוסחאות ויאטה מחברות בין המקדמים של פולינום לבין השורשים שלו. שורש הוא מספר שהופך את הפולינום לאפס. לדוגמה, למשוואה ריבועית ax^2+bx+c יש שני שורשים x1 ו-x2. מתקיים x1+x2=-b/a. וגם x1*x2=c/a. זה אומר שהסכום והמכפלה של השורשים קשורים ישירות למספרים a, b, c. גם למטריצות יש "שורשים" שנקראים ערכים עצמי...
מטריצה נילפוטנטית
מטריצה היא טבלה של מספרים בשורות ולעמודות. מטריצה נילפוטנטית היא כזאת שאם מכפילים אותה בעצמה מספיק פעמים, מקבלים את טבלת האפסים. גם העתקה ליניארית (פונקציה ששומרת חיבור וכפל) יכולה להיות נילפוטנטית. פירוש הדבר: אם מפעילים אותה כמה פעמים, כל דבר יהפוך לאפס. יש מטריצה 4×4 שמזיזה כל מספר בעמודה אחת י...
גרף מרחיב
גרף מרחיב (אקספנדר) הוא גרף שקשה מאוד לחלק לשתי קבוצות גדולות. צריך להסיר הרבה קשתות כדי לבצע זאת. לכן הוא "קשיח" ומקשר טוב בין חלקיו. בגרף רגולרי כל קדקוד מחובר לאותו מספר של קשתות. גרף כזה נקרא c-מרחיב אם כל קבוצה קטנה של קדקודים מחוברת החוצה להרבה קדקודים אחרים. ניתן גם למדוד מרחיבות בעזרת מטר...
מאמצים ראשיים
מאמצים ראשיים הם הכוחות הפנימיים על מישור שבו הגזירה אפס. גזירה היא כוח שמנסה להזיז שכבות אחת על השנייה. לכל נקודה בגוף יש שני מישורים ניצבים כאלה. הם נקראים מישורים ראשיים. בערכים האלה הכוח נמתח הכי הרבה או נלחץ הכי הרבה. מישהו בשם קושי גילה את הרעיון הזה. כדי להבין את המאמצים משתמשים בשרטוט שנ...
מטריצה לכסינה
מטריצה היא לְכסינה כשאפשר לשנות אותה למטריצה פשוטה עם מספרים רק על האלכסון. מטריצה אלכסונית היא כזו שרק הקו מהפינה השמאלית העליונה לפינה הימנית התחתונה מלא במספרים. ווקטור עצמי הוא כיוון שבו המטריצה לא משנה את הכיוון. הערך העצמי הוא המספר שכופל בכיוון הזה. אם יש הרבה כיוונים כאלה עד שמכסים את כל המ...
תורת שטורם-ליוביל
תורת שטורם-ליוביל בוחנת משוואות שבהן מחפשים פתרון שלא שווה אפס. ערך עצמי זהו מספר הקשור לפתרון כזה. פונקציות עצמית הן הפתרונות האלה. משוואת החום מסבירה איך חום זורם בחומר. פותרים אותה על ידי הפרדת משתנים. זה אומר מניחים שהפתרון הוא מכפלת שתי פונקציות. אחת תלויה במרחב ואחת בזמן. בשיטה זו מקבלים ...
מטריצת היחידה
מטריצת היחידה (I_n) היא "טבלה" של מספרים בגודל n×n. בקו האלכסון הראשי יש 1. בכל מקום אחר יש 0. כשמכפילים כל מטריצה ב-I, המטריצה נשארת זהה. זה כמו להכפיל מספר ב-1. דוגמאות קטנות: I_1 = [1]. I_2 = [[1,0],[0,1]]. I_3 דומה, רק גדול יותר. אפשר לכתוב אותה כ־diag(1,1,…,1). גם כותבים את הערכים שלה בעזרת ...
מטריצת הסיאן
מטריצת ההסיאן היא טבלה שמכילה נגזרות שניות של פונקציה. נגזרת שניה היא איך השיפוע משתנה. מטריצה זו עוזרת למצוא אם נקודה היא מינימום, מקסימום או אוכף. אם יש פונקציה של כמה משתנים, בונים טבלה שבה כל תא הוא נגזרת שניה לפי שני משתנים. אם הנגזרות מסדר שני ממש חלקות, הטבלה סימטרית (השורה והעמודה מתחלפות)....
עיגולי גרשגורן
עיגולי גרשגורן עוזרים לדעת איפה נמצאים הערכים העצמיים של מטריצה. הערך העצמי הוא מספר שמספר איך המטריצה משנה כיוון או גודל של וקטור. מטריצה היא טבלה של מספרים. עבור כל שורה בוחרים את המספר על האלכסון (המספר שנמצא באותו העמוד והשורה). מרכיבים עיגול שמרכזו המספר הזה. רדיוס העיגול הוא סכום הערכים של שא...
מטריצה סימטרית
מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית. "ריבועית" פירושו שיש לה אותן שורות ועמודות. אם הופכים שורות לעמודות מקבלים את אותה מטריצה. זאת אומרת שאיבר שנמצא מעל האלכסון הוא כמו האיבר המשקף שלו מתחת לאלכסון. זה דומה לתמונה במראה. העובדה החשובה היא שהמספרים המיוחדים של המטריצה, שנקראים ערכים עצמיים (מספרים שמ...