שורש ריבועי
שורש ריבועי הוא מספר שמוכפל בעצמו נותן מספר אחר. למשל, 10 מוכפל ב־10 שווה 100. לכן 10 הוא שורש ריבועי של 100. לכל מספר חיובי יש שני שורשים. אחד גדול וחיובי ואחד שלילי. ל־100 יש את 10 ואת −10. כשכועסים אומרים רק על השורש החיובי. מספרים שליליים בלי חלק דמיוני אין להם שורש אמיתי. כדי לפתור את זה המצ...
סגור אלגברי
הסגור האלגברי של שדה F הוא השדה הכי קטן שמכיל את F וכל השורשים של משוואות עם מקדמים מ־F. "שדה" זה קבוצה של מספרים שעובדת עם חיבור וכפל. "שורש של משוואה" הוא מספר שעושה את המשוואה שווה לאפס. בונים את הסגור על ידי הוספת כל הפתרונות של משוואות שמתקבלות מ־F. הסגור הוא ייחודי: אין עוד אחד שונה שנחשב לקט...
שורש יחידה
שורש יחידה הוא מספר בשדה (קבוצה של מספרים עם חיבור וכפל) שהחזקה שלו נותנת 1. שורש מסדר n מקיים ρ^n = 1. אם לא קיים מסדר קטן יותר קוראים לו פרימיטיבי. בכל שדה יש עד n שורשים כאלו. במספרים המרוכבים יש בדיוק n שורשי יחידה מסדר n. הם על מעגל ישר שצורתו נקראת מעגל היחידה. הנקודות יוצרות מצולע משוכלל עם...
ג'ירולמו קרדאנו
ג'ירולמו קרדאנו נולד ב-1501 ומת ב-1576. הוא היה איטלקי ועשה דברים רבים. הוא למד בערים פאביה, מילאנו ופדובה. לימד מתמטיקה והיה רופא. הוא נסע לטפל במלך סקוטלנד. חייו המשפחתיים היו קשים. בנו השני גנב, ובנו הבכור הוצא להורג. קרדאנו אהב להמר. קרדאנו למד רפואה וקיבל תואר דוקטור. בתחילה רוב האנשים לא קיב...
משוואה ממעלה שלישית
משוואה ממעלה שלישית היא משוואה עם x בחזקה שלישית, למשל ax^3+bx^2+cx+d=0. פתרון כללי למשוואות כאלה נמצא במאה ה-16 על ידי מתמטיקאים איטלקים. הם הבינו שגם "מספרים מרוכבים" חשובים. מספר מרוכב הוא מספר שיש לו חלק אמיתי וחלק מיוחד בשם i. ניתן לשנות את המשתנה כדי להעלים את x^2. זה הופך את המשוואה לפשוטה י...
מספר
מספר הוא דרך לומר כמה יש. נרשום מספרים בדרך שקוראים לה שיטה מצבית. שיטה זו משתמשת בספרות לפי בסיס. בסיס אומר כמה סימנים יש במערכת. בדוגמה הכי רגילה יש 10 ספרות, 0 עד 9. זו השיטה העשרונית. במחשבים משתמשים גם בבסיס 2 (שני סימנים), 8 ו־16. לפני זה היו כתובות אחרות, כמו ספרות עבריות ורומיות. 613 נכתב ...
נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
נוסחת אוילר מחברת בין פונקציות מתמטיות מוכרות. היא אומרת שמחבר בכללים בין האקספוננטי לסינוס ולקוסינוס. אם בוחרים זווית בשם פאי, מקבלים תוצאה מיוחדת: e בחזקת i כפול פאי שווה -1. לכן e בחזקת iפאי ועוד 1 שווה 0. זהו חיבור יפה בין מספרים חשובים. כל מספר מרוכב אפשר לתאר על ידי אורך וזווית. האורך נקרא מ...
שדה (מבנה אלגברי)
שדה הוא קבוצה של איברים עם חיבור וכפל. אפשר לחסר ולחלק בכל איבר שאינו אפס. (חיסור הוא חיבור עם נגדי, וחלוקה היא כפל בהופכי.) יש שדות של מספרים שאנחנו מכירים: רציונליים, ממשיים ומרוכבים. רציונליים הם שברים. ממשיים כוללים גם מספרים לא־שברים. מרוכבים הם מספרים בצורת a+bi. יש גם שדות קטנים עם מס...
המישור המרוכב
מישור המספרים המרוכבים הוא שטח דו־ממדי. שם מציגים מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק המדומה מכיל את האות i. כל מספר מרוכב קשור לנקודה במישור. האופקי מייצג את החלק הממשי. האנכי מייצג את החלק המדומה. אפשר גם להציג מספרים לפי מרחק וזווית. המרחק הוא כמה רחוקה...
קבוצת מנדלברוט
קבוצת מנדלברוט היא קבוצת מספרים מיוחדים במישור. מספר מרוכב - מספר עם שני חלקים, אחד רגיל ואחד מדומה. בודקים כל מספר בעזרת סדרה שמתחילה ב־0. כל פעם מרבעים ומוסיפים את המספר. אם הסדרה לא בורחת, המספר שייך למנדלברוט. התמונה הראשונה נוצרה ב־1978 על ידי ברוקס ומטלסקי. מנדלברוט חקר את הנושא במחשב בשנות ה...
משפט דה מואבר
משפט דה-מואבר אומר: אם לוקחים (cos x + i sin x) ומעלים בחזקה n, מקבלים cos(nx) + i sin(nx). כאן cos(x) הוא החלק האמתי של המספר, ו-i·sin(x) הוא החלק המדומה. מספר מרוכב הוא מספר בעל שני חלקים כאלה. המשפט עוזר לחשב חזקות של מספרים כאלה ולמצוא שורשים שלהם. זה גם עוזר להבין ביטויים כמו cos של מספר כפול. ...
תנועה מעגלית
תנועה מעגלית היא תנועה של גוף במסלול מעגלי סביב נקודה או ציר. לוויין שמקיף את כדור הארץ הוא דוגמה פשוטה. בתנועה מעגלית קצובה המהירות היא בקושי קבועה בגודל, אבל הכיוון משתנה כל הזמן. מהירות זוויתית זה שינוי הזווית בזמן. המהירות המשיקית שווה לרדיוס כפול המהירות הזוויתית. יש כוח שמושך פנימה אל מרכז המ...
מספר מדומה
מספר מדומה הוא מספר שריבועו נותן מספר שלילי או אפס. מספר כזה נראה כך: ib. ה‑i היא היחידה המדומה. זה אומר i פעמים i שווה -1. 0 נחשב גם ממשי וגם מדומה. כי אי אפשר למצוא מספר ממשי שמרביעו נותן -1, המציאו את ה‑i. שילוב של מספרים רגילים עם i יוצר "מספרים מרוכבים". מספר מרוכב פשוט יש לו חלק רגיל וחלק מדו...
שדה המספרים המרוכבים
המספרים המרוכבים הופיעו לפני כמה מאות שנים. קרדאנו השתמש בהם כדי לפתור בעיות. בתחילה אנשים קראו להם "מדומים". מספר מרוכב הוא כמו זוג של שני מספרים רגילים. אחד מהם נקרא החלק הממשי. השני נקרא החלק המדומה. יש גם מספר מיוחד בשם i. כשמכפילים i בעצמו, מקבלים את המספר שליל אחד. כל מספר מרוכב אפשר לראות כ...
אי-שוויון המשולש
אי-שוויון המשולש אומר: המרחק מ-A ל-C קטן או שווה למרחק מ-A ל-B ועוד מ-B ל-C. כאן מרחק הוא איך שמודדים כמה שתי נקודות רחוקות זו מזו. זה כמו במשולש: צלע אחת תמיד קצרה או שווה לשתי צלעות אחרות יחד. על הקו של המספרים משתמשים בערך מוחלט. ערך מוחלט הוא המרחק של מספר מהאפס. אז |a-c|≤|a-b|+|b-c| לכל a,b,c....
חיבור
חיבור means חיבור של שני מספרים כדי לקבל סכום. הסימן הוא +. למשל 2+3=5. חיבור עובד גם על מספרים שליליים, שברים, מספרים ארוכים, וגם על מספרים עם חלק מדומה. יש דרך פורמלית לבנות מספרים שלמים מזוגות של מספרים טבעיים. חיבור בין זוגות נעשה על ידי חיבור כל הרכיבים. שבר כמו a/b מיוצג בזוג. חיבור שברים נ...