משפט הבסיס של הילברט
משפט הבסיס של הילברט אומר כך: אם בחוג הבסיס אין שרשראות אינסופיות של אידיאלים (תכונה שנקראת נתריות), אז גם בחוג הפולינומים מעליו יש את אותה תכונה. במילים פשוטות: לא צריך אינסוף פולינומים כדי לתאר קבוצות מיוחדות של פולינומים. נניח שהחוג הבסיס כן טוב (נתרי). נניח שלא נכון שזה נכון גם לפולינומים. אז י...
ממד קרול
ממד קרול אומר כמה "רמות" יש בתוך חוג מתמטי. רמה כאן היא אידיאל ראשוני. (אידיאל ראשוני זה קבוצה מיוחדת בתוך החוג.) ממד קרול הקטן הוא המספר הכי גדול של רמות שניתן לשרשר אחת בתוך השנייה. בחוג המספרים השלמים Z יש שתי רמות: האפס ורמת pZ. לכן הממד שם הוא 1. בשדה יש רק את רמת האפס, לכן הממד הוא 0. חוגים ...
גאומטריה אלגברית
גאומטריה אלגברית היא חיבור בין אלגברה וגאומטריה. זה אומר שבוחנים צורות כמו עקומות ומשטחים וגם את המשוואות שמייצרות אותן. קבוצה אלגברית היא כל הנקודות שמאפסים את אותם פולינומים. לדוגמה, הכדור הוא כל הנקודות שהחיבור של הריבועים של שלושת הקואורדינטות שווה ל־1. אם יש שני פולינומים, נבדוק את הנקודות שב...
תחום ראשי
תחום ראשי הוא סוג של חוג שבו כל אידיאל הוא "ראשי". אידיאל ראשי נוצרת על ידי איבר אחד בלבד. זאת פירושה: כל האלמנטים בו הם כפל של אותו איבר. בגלל זה הרבה חישובים בחוגים אלה פשוטים יותר. דוגמאות ידועות הן Z (המספרים השלמים), Z[i] (המספרים הגאוסיים), וגם חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה. לא כל חוגים כ...
פולינומי הרמיט
פולינומי הרמיט הם סדרה של ביטויים במשתנה x. כל ביטוי כזה נקרא פולינום. הם חשובים בפיזיקה ובמתמטיקה. מה זה פולינום? פולינום הוא חיבור של חזקות של x עם מספרים כמקשרים. למשל H_0=1 ו-H_1=2x. איך בונים אותם? את H_n מכינים על ידי פעולה של מדידה מיוחדת (נגזרת) על פונקציה עם e^{-x^2}. נגזרת זו מודדת שינוי...
תורת הקירובים
תורת הקירובים עוסקת בדרך למצוא חיבורים פשוטים שמדמים פונקציות מסובכות. פולינום הוא חיבור של חזקות של x. מחשבים אוהבים פולינומים כי הם קלים לחישוב. אם רוצים לחשב פונקציה קשה, מקרבים אותה בפולינום. ככל שמגבירים את דרגת הפולינום יש שגיאה קטנה יותר. משפט ויירשטראס אומר שאפשר לקרב כל פונקציה רציפה על ק...
חוג אוקלידי
חוג אוקלידי הוא חוג שבו אפשר לחלק עם שארית. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. תחום שלמות הוא חוג בלי בעיות של אפס בכפל. יש פונקציה שמודדת "גודל" של איבר. בכל חילוק a על ידי b אפשר למצוא מנה ושארית. השארית קטנה לפי המדד הזה. כך עובדים כמו בחילוק של מספרים בשלב בית הספר. דוגמה חשובה היא החוג של המספרים ה...
פורטל:מדעי החלל/ערכים מבוקשים
כשתוסיפים ערך חדש, כתוב גם את השם באנגלית אם יודעים. קישור לויקי אחר יעזור למצוא את הערך. אסטרונומים הם מדענים של כוכבים. קטגוריה:ויקיפדיה - ערכים מבוקשים ויקיפדיה היא אתר מידע שאנשים כותבים בו....
משפחת ויזלי
וויזלי היא משפחה של קוסמים (אנשים שעושים קסמים). המשפחה מופיעה בספרי הארי פוטר. ההורים הם מולי וארתור ויזלי. הם אוהבים את ילדיהם. לזוג שבעה ילדים. בין הידועים: רון וג'יני. המשפחה ידועה בשער ג'ינג'י ובכך שהם עניים ביחס לאחרים. הבית שלהם נקרא "המחילה". הוא קרוב לכפר אוטרי סנט קצ'פול. בחצר יש נומים, י...
אגרונומיה
אגרונומיה היא מדע שעוזר לגדל צמחים לגשם ולאוכל. מדעני אגרונומיה נקראים אגרונומים. גידולים חשובים הם חיטה, אורז ותירס. הם מספקים הרבה אוכל לאנשים. אגרונומים בודקים את הקרקע. קרקע היא האדמה בה הצמחים גדלים. הם גם חוקרים מים והשקיה. כך הצמחים מקבלים את מה שהם צריכים. בני אדם פיתחו שיטות חקלאות לפני...
פולינום
פולינום הוא ביטוי חיבור וכפל של x ושל מספרים. דוגמה פשוטה: 3x^2+7x-5. כל חלק ak x^k נקרא מונום. k זו החזקה. a_k זה המקדם. האיבר בלי x נקרא המקדם החופשי. מעלה או דרגה של פולינום היא החזקה הכי גדולה שיש בו. אם המקדמים הם מספרים רגילים קוראים לפולינום 'ממשי'. אפשר גם פולינומים בכמה משתנים, כמו x^3 y z...
חוג (מבנה אלגברי)
חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c. אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל. איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים ...
אדריאן-מארי לז'נדר
אדריאן-מארי לז'נדר נולד ב-1752 ומת ב-1833. הוא היה מתמטיקאי צרפתי. מתמטיקאי זה עובד עם מספרים ובעיות חשבון. למד אצל לפלס. ב-1782 הוזמן לברלין לעבוד בתחום המתמטי. ב-1783 שלח מחקר על פולינומי לז'נדר. פולינום הוא נוסחה עם חזקות ומקדמים, וזה סוג מיוחד שעוזר לפיזיקה. הוא חקר גם פונקציות אליפטיות. פונק...
פונקציה שלמה
פונקציה שלמה היא פונקציה שמוגדרת ו"מתאימה" לכל מקום במישור המרוכב (מקום של מספרים עם חלק דמיוני). הולומורפית פירושו שאפשר לחשב לה נגזרת בכל נקודה (נגזרת = קצב שינוי). דוגמאות שאפשר להכיר: פולינומים ופונקציית האקספוננט. גם סינוס וקוסינוס הם דוגמאות, כי הם קשורים לאקספוננט לפי נוסחת אוילר. כל פונקצי...
פפנוטי צ'בישב
צ'בישב נולד ב-1821 בכפר קטן ברוסיה. הוא למד במוסקבה והיה פרופסור בסנקט פטרבורג. הוא חקר הסתברות. הסתברות אומרת כמה משהו יכול לקרות. צ'בישב גילה כלל שמגביל כמה ערכים יכולים להתרחק מהממוצע. סטיית התקן מסבירה כמה הערכים מתפזרים סביב הממוצע. גם חקר מספרים ראשוניים. מספר ראשוני מתחלק רק בעצמו וב-1. הו...
אגורה (מקום כינוס)
אגורה (ביוונית: ἀγορά) הייתה כיכר גדולה בערים ביוון הישנה. שם נפגשה אספת העם. אספת העם פירושה פגישה של התושבים לקבל החלטות. באגורה היה שוק. היא הייתה מוקפת מקדשים וסטואה. סטואה זו מעבר מקורה עם עמודים. אגורנומים היו האנשים ששמרו על הסדר בשוק. הם בדקו שמוכרים לא מרמים וקבעו מיסים. האגורה של אתונה מ...
אורתוגונליות
אורתוגונליות היא רעיון כללי ל'ניצבות'. שני וקטורים אורתוגונליים אם משהו שנקרא מכפלה פנימית שווה לאפס. מכפלה פנימית היא דרך לחשב יחס בין שני וקטורים, כמו למדוד זווית. וקטור הוא אורתוגונלי למרחב אם הוא אורתוגונלי לכל וקטור במרחב הזה. מספיק לבדוק מול הווקטורים הבסיסיים. המשלים האורתוגונלי של קבוצה ה...
מחלק
מספר a הוא מחלק של מספר b אם יש מספר שלם c כך ש‑b=a·c. זה אומר שהחלוקה של b ב‑a לא נותנת שארית. דוגמה פשוטה: 5 מחלק את 35 כי 35=5·7. אבל 5 לא מחלק את 33. חוקים קצרים: אם a מחלק b וגם b מחלק c אז a מחלק גם את c. כל מספר מחלק את עצמו. אפס מחלק אפס אבל חלוקה ב‑0 אינה נכונה. לכל מספר טבעי יש מספר מס...
פירוק לשברים חלקיים
פירוק לשברים חלקיים מפצל שבר גדול לשברים קטנים ופשוטים. שבר כזה הוא יחס בין שני פולינומים. פולינום הוא סכום של חזקות של x. מראש מפצלים את המכנה לחלקים קטנים שאי אפשר לפרק עוד. אחר כך כותבים את השבר כסכום של חלקים שכל אחד מהם קל יותר. השבר (x+3) על (x^2-3x-40). מכפילים ומוצאים שהמכנה שווה ל-(x-8)(x...
אווריסט גלואה
אווריסט גלואה (1811, 1832) היה מתמטיקאי צעיר וחכם מצרפת. הוא חשב רעיונות חשובים על פתרון משוואות. הוא הראה שבכלל לא ניתן למצוא נוסחה כללית לפתור משוואות ממעלה חמישית ומעלה רק בעזרת חיבור, חיסור, כפל, חילוק ושורשים. שורשים = כמו שורש ריבועי. גלואה נולד ליד פריז. אמו לימדה אותו בבית עד שהיה גדול מעט....
המשפט היסודי של האריתמטיקה
כל מספר טבעי ניתן לפרק ל"אבני בניין" מיוחדות שנקראות מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר הגדול מ‑1 שלא ניתן לחלק אותו בשום מספר חוץ מ‑1 ובעצמו. דוגמה כיפית: 1176 נוצר מ‑2 כפול 2 כפול 2 כפול 3 כפול 7 כפול 7. זהו הפירוק היחיד שלו לפריימים. אפשר להראות שכל מספר מתחלק לפריימים. אם מספר אינו ראשוני...
משפט קיילי-המילטון
יש משפט במתמטיקה שאומר: כל מטריצה ריבועית A "מכבה" את הפולינום האופייני שלה. פולינום אופייני הוא פולינום שמקבלים מהדטרמיננטה |λI−A|. כשמחליפים את λ במטריצה A מקבלים את מטריצת האפס. היסטוריה קצרה: קיילי גילה את הרעיון בממדים קטנים. המילטון עבד על מקרים נוספים. הוכחה מלאה נמצאה ב־1878. יש מטריצה מ...