מספר ראשוני
מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ־1. הוא מתחלק רק ב־1 ובעצמו. לדוגמה: 2, 3 ו־5. מספר שאפשר לחלקו למספרים אחרים נקרא פריק. פריק הוא מספר שאינו ראשוני. מספרים ראשוניים הם אבני־בניין. מכלם אפשר להרכיב כל מספר אחר בעזרת כפל. לכן הם חשובים במתמטיקה ובמחשב. אוקלידס הראה שאי אפשר למנות את כל הראשוניים. הו...
מספר ראשוני רגולרי
מספר ראשוני רגולרי הוא מספר ראשוני גדול מ-2 עם תכונה מיוחדת בחוג מיוחד. שורש יחידה מסדר n הוא מספר שמעלים אותו בחזקת n מקבלים 1, ולא בחזקות קטנות יותר. החוג הציקלוטומי הוא קבוצה של מספרים שמכילה את כל המספרים השלם ואת שורש היחידה. מספר ראשוני p הוא רגולרי אם הוא לא "מחלק" מספר חשוב של החוג הזה. כלו...
מספר ראשוני וילסון
ראשוני וילסון הוא סוג מיוחד של מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שאפשר לחלק רק ב‑1 ובעצמו. העצרת היא מכפלה של כל המספרים מ‑1 עד מספר. המתמטיקאי ג'ון וילסון קשור לגילוי הזה. ידועים רק שלושה כאלה: 5, 13 ו‑563. אם יש אחרים, הם יותר מ‑500 מיליון....
סימן לז'נדר
סימן לז'נדר הוא סימן במתמטיקה. קוראים לו על שם המתמטיקאי לז'נדר. הסימן עוזר לדעת אם מספר הוא שארית ריבועית. שארית ריבועית היא שארית שנוצרת כשמכפילים מספר בעצמו. יהי p מספר ראשוני אי‑זוגי. יהי a מספר שלם. הסימן (a/p) נותן 1, 0 או −1. 1 אומר: כן, a הוא שארית ריבועית. 0 אומר: a מתחלק ב‑p. −1 אומר: לא, ...
43 (מספר)
43 נקרא ארבעים ושלושה. זה המספר אחרי 42 ולפני 44. 43 הוא מספר ראשוני, כלומר מספר שמתחלק רק בעצמו וב-1. 43 הוא גם חלק מסדרת סילבסטר. סדרת סילבסטר היא רשימה מיוחדת של מספרים. 43 הוא מספר היגנר. זה שם לקבוצה מיוחדת של מספרים. ...
47 (מספר)
47 (ארבעים ושבעה / ארבעים ושבע) הוא אחרי 46 ולפני 48. 47 הוא מספר ראשוני. זה אומר שמחלקים אותו רק ב-1 ובו. זה גם ראשוני בטוח. זהו סוג מיוחד של ראשוני. 47 מופיע ברשימות מיוחדות כמו לוקאס, קית', ת'ביט וקרול. ...
39 (מספר)
39 (שלושים ותשעה / שלושים ותשע) נמצא אחרי 38 ולפני 40. 39 הוא סכום חמשת המספרים הראשוניים האי-זוגיים הראשונים: 3+5+7+11+13. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק בעצמו וב-1. 39 גם מתקבל מ-3+9+27. 39 הוא המספר האטומי של האיטריום. מספר אטומי אומר כמה פרוטונים יש ביסוד. במסורת מופיע המספר 39 בהקשר של עונשי...
סדרת מחלקים
סדרת מחלקים מתחילה ממספר. אחרי כל מספר שמים את סכום המחלקים שלו. מחלקים הם מספרים שמתחלקים בלי שארית במספר הנתון. כל פעם כוללים את 1 ולא כוללים את המספר עצמו. דוגמה פשוטה: 45 ואז 33 ואז 15 ואז 9 ואז 4 ואז 3 ואז 1. כאן הסדרה נגמרת ב־1. לפעמים הסדרה מגיעה למספר ראשוני. מספר ראשוני מתחלק רק ב־1 ובעצמו....
למת הנזל
הלמה של הנזל עוזרת להעביר פתרונות של משוואות ממספרים עם שארית ב-p למספרים עם שארית ב-p בחזקות גבוהות יותר. (p הוא מספר ראשוני כמו 2,3,5). אם יש מספר r שמקיים שארית אפס בחלוקה ב-p לפולינום f, ונגזרת f'(r) (הנגזרת היא השיפוע, כלומר כמה הפונקציה משתנה) לא נותנת שארית אפס ב-p, אז אפשר למצוא בדיוק פתרו...
פונקציית מחלקים
פונקציית מחלקים עוסקת במחלקים של מספרים. הפונקציה לוקחת מספר וחושבת סכום של כל המחלקים שלו, כאשר אפשר להרים כל מחלקה בחזקה x. אם x=0 היא סופרת כמה מחלקים יש. אם x=1 היא מסכמת את כל המחלקים. מספר ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים: 1 והמספר עצמו. במקרה כזה סכום המחלקים הוא p+1. כשמפרקים מספר ...
שארית ריבועית
שארית ריבועית מודולו n היא מספר שמתקבל כשמשווים שארית של ריבוע. ("מודולו" פירושו שארית בחלוקה ב-n.)\n\nדוגמה פשוטה: מודולו 11 הריבועים של 1..10 נותנים את השאריות 1,3,4,5,9. אלה השאריות הריבועיות של 11.\n\nאם p הוא מספר ראשוני אי-זוגי, אז חצי מהשאריות הלא־אפס הן שאריות ריבועיות.\n\nכדי לבדוק עבור מספ...
שדה סופי
שדה סופי הוא קבוצה עם חיבור וכפל ויש בה מספר מוגבל של איברים. מספר האיברים תמיד שווה לחזקה של מספר ראשוני. זאת אומרת תמיד p^n איברים, כאשר p הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. לכל p ו-n יש בדיוק שדה אחד בגודל p^n. בשדה כזה כל איבר מקיים x^{p^n}=x (כלומר כשמעלים אותו ל-p^n מ...
משפט קושי (תורת החבורות)
משפט קושי אומר: אם יש חבורה סופית (קבוצה עם פעולה דמוית כפל) ומספר ראשוני p מחלק את מספר האיברים, אז קיים איבר שאם מכפילים אותו בעצמו p פעמים מקבלים את הזהות. איבר כזה נקרא "מסדר p". דוגמה חשובה: אם יש פולינום שלא מתפרק שמעלה שלו היא p, אז החבורה שנוצרת כשבודקים את כל השורשים שלה כוללת איבר כזה. ...
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'
כל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים. ריבוע = מספר כפול עצמו. לדוגמה: 107=8^2+5^2+3^2+3^2. את המשפט הוכיח לגראנז' ב‑1770. יש דרך חכמה שמראה שהמכפלה של שני מספרים שסכומם ארבעה ריבועים גם היא סכום ארבעה ריבועים. לכן מספיק להוכיח את זה עבור מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב‑1...
29 (מספר)
29 (עשרים ותשעה; עשרים ותשע) הוא המספר אחרי 28 ולפני 30. 29 הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב־1 ובעצמו. גם 31 הוא ראשוני, אז 29 ו־31 נקראים ראשוניים תאומים. 29 שווה לסכום של שלושה ריבועים עוקבים. ריבוע זה מספר כפול עצמו: אז 2 כפול 2, 3 כפול 3 ו־4 כפול 4 יחד נותנים 29. 29 מופיע גם ב...
מספר חסר
מספר חסר הוא מספר שבו סכום כל המחלקים שלו קטן מ‑2 כפול המספר. σ(n) היא פונקציה שמחשבת את סכום כל המחלקים החיוביים של n. היא כוללת גם את n עצמו. ההפרש 2n−σ(n) נקרא "החסרות". דוגמאות של מספרים חסרים: 1, 2, 3, 4, 5. יש אינסוף מספרים חסרים. עוד עובדה פשוטה: כל מספר ראשוני וחזקות שלו הם חסרים. ...
משפטי סילו
משפטי סילו מדברים על תתי־חבורות מיוחדות בחבורה סופית. מספר p הוא מספר ראשוני. חבורת p היא חבורה שמספר האיברים שלה הוא p בחזקה מסוימת. חבורת סילו היא תת־חבורה שגודלה הוא החזקה המקסימלית של p שמחלקת את סדר החבורה. אם p מחלק את סדר החבורה, יש תמיד חבורת סילו. כל חבורות הסילו דומות זו לזו. כלומר אפשר...
באופן ריק
"נכונה באופן ריק" אומרת שטענה נכונה כי אין דוגמה היא נכונה עליה. למשל: "אם מספר ראשוני מתחלק ב־6 אז הוא כפולה של 10". כאן אין מספר ראשוני שמתחלק ב־6. (מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק בעצמו וב־1.) במתמטיקה יש קשר שנאמר בקלות "אם A אז B". קשר זה שקרי רק כש־A אמת ו־B שקר. לכן אם A שקר, המשפט נחשב לנכון...
מאפיין (אלגברה)
המאפיין הוא המספר הקטן n שאם מחברים את 1 עם עצמו n פעמים מקבלים 0. אם אין כזה, המאפיין הוא 0. אם המאפיין גדול מ-0, הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק ב-1 ובעצמו. המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים יש להם מאפיין 0. שדה סופי לא יכול להיות בעל מאפיין 0. בשדה שמאפיינו p, חישוב (a+b)^p נו...
השערת גולדבך החלשה
הגרסה החלשה של גולדבך אומרת: כל מספר אי‑זוגי גדול מ‑5 הוא סכום של שלושה ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק בעצמו וב‑1. הרעיון הוצע ב‑1742 על ידי גולדבך. מתמטיקאים עבדו על זה הרבה שנים. ב‑1937 וינוגרדוב הוכיח שזה נכון לכל המספרים הגדולים מספיק. בשנים 2012, 2013 הראלד הלפגוט סיים את ההוכחה לכל ה...
המשפט היסודי של האריתמטיקה
כל מספר טבעי ניתן לפרק ל"אבני בניין" מיוחדות שנקראות מספרים ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר הגדול מ‑1 שלא ניתן לחלק אותו בשום מספר חוץ מ‑1 ובעצמו. דוגמה כיפית: 1176 נוצר מ‑2 כפול 2 כפול 2 כפול 3 כפול 7 כפול 7. זהו הפירוק היחיד שלו לפריימים. אפשר להראות שכל מספר מתחלק לפריימים. אם מספר אינו ראשוני...
דוגמה נגדית
דוגמה נגדית היא דוגמה שמראה שטענה לא נכונה. טענה כללית אומרת משהו על כל המספרים או העצמים בקבוצה. דוגמה אחת שגויה מספיקה כדי להראות שהטענה שגויה. לפני חשבו שלפעמים מספרים שעשויים רק מהספרה 3 ונגמרים ב־1 הם תמיד ראשוניים. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב־1 ובעצמו. מצאו מספר גדול, 333,333,331, שמתחלק...
קריטריון אייזנשטיין
קריטריון אייזנשטיין אומר מתי פולינום עם מספרים שלמים לא ניתן לפרק. פולינום זה סכום של חזקות של x עם מספרים לידן. התנאי: יש מספר ראשוני p (מספר שחולק רק ב־1 ובעצמו) כך ש־p מחלק את כל המקדמים חוץ מהמוביל. אבל המקדם החופשי לא מתחלק ב־p^2 (p בריבוע). אם זה קורה, הפולינום לא נפרק לחלקים פשוטים מעל המס...
200 (מספר)
200 (מאתיים) הוא המספר אחרי 199 ולפני 201. לא ניתן להפוך את 200 למספר ראשוני על ידי שינוי ספרה אחת. מספר ראשוני הוא מספר שמחלקים אותו רק ב־1 ובעצמו. 200 גם מסווג כמספר הרשאד. מספר הרשאד מתחלק בדיוק בסכום הספרות שלו. מבוטא נכון: מָאתַיִם. האות א' לא נשמעת. בחלק מהשפות המדוברות, כמו בירושלים, אומרי...
מספרים ידידים
שני מספרים נקראים ידידים אם כל אחד שווה לסכום המחלקים של השני. מחלקים הם המספרים שמתחלקים בלי שארית. לא כוללים את המספר עצמו. הדוגמה המפורסמת היא (220, 284). אנשים עתיקים כמו הפיתגוראים ידעו על זוגות כאלה. היה מתמטיקאי ערבי בשם ת'אבת שאמר שיש נוסחה שנותנת כמה זוגות ידידים. הנוסחה נותנת את הזוג (22...
26 (מספר)
26 (עשרים ושש, עשרים וששה) הוא המספר אחרי 25 ולפני 27. 26 הוא מספר זוגי. כלומר הוא מתחלק ב-2. מספר ראשוני הוא מספר שיש לו רק שני מחלקים: 1 ואת עצמו. אין מספר ראשוני אחד פחות או אחד יותר מ-26. 25 הוא ריבוע של 5. ריבוע זה 5 כפול 5. 27 הוא מעוקב של 3. מעוקב זה 3 כפול 3 כפול 3. המתמטיקאי פרמה הראה שזה...
ראשוניים תאומים
ראשוניים תאומים הם שתי מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2. ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובו עצמו. דוגמאות פשוטות: 3 ו-5, 5 ו-7, 11 ו-13. המספר שבאמצע בדרך כלל מתחלק ב-6. יוצא דופן הוא הזוג 3 ו-5. ב-2012 מצאו זוג עצום: 3756801695685·2^{666669}±1. הזוג הזה מכיל 200,700 ספרות. איננו יודעים אם יש אינס...