מטריצה אוניטרית
מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית של מספרים מרוכבים. מטריצה ריבועית פירושה אותו מספר שורות ועמודות. מספרים מרוכבים הם מספרים עם חלק דמיוני. חלק דמיוני הוא החלק שלא ממש "כמו מספרים רגילים". יש לה צמוד הרמיטי. צמוד הרמיטי הוא לקחת את המטריצה, להחליף שורות בעמודות, ולשנות את החלקים הדמיוניים. כשהכופלי...
חוק בנפורד
חוק בנפורד אומר אילו ספרות מופיעות בראש מספרים גדולים. גילה סיימון ניוקום ב-1881 ופרנק בנפורד מצא אותו שוב ב-1938. החוק אומר שהספרה 1 מופיעה הכי הרבה כראש המספר. למשל: 31,000; 112,000; 2,500, בראש מופיעות הרבה פעמים ספרות נמוכות. יש נוסחה שמחשבת את ההסתברות: P(n)=log10(1+1/n). כאן log10 הוא לוגריתם...
צפיפות (תורת המספרים)
צפיפות אומרת כמה חלק מהמספרים עד n נמצאים בקבוצה. לדוגמה, עד 100 נבדוק כמה מספרים מהקבוצה נמצאים בין 1 ל‑100. A(n) הוא השם לחלק הזה: כל האיברים של A עד n. יחס |A(n)|/n אומר את החלק. החלק תמיד בין 0 ל־1. אם החלק מתייצב כשהמספרים גדלים, זה נקרא צפיפות טבעית. אם לא מתייצב, יש שתי מחשבות: צפיפות עליונה...
הבונה העסוק
בונה העסוק שואלת שאלה פשוטה: כמה עבודה יכולה מכונת טיורינג לעשות לפני שהיא עוצרת. מכונת טיורינג זה מחשב תיאורטי. זהו מכשיר עם סרט ארוך וראש קורא. המכונה קוראת ומושכת את הסרט. היא פועלת לפי טבלת הוראות. יש לה מצבים פנימיים. לפעמים המכונה לעולם לא עוצרת. S(n) אומרת את מספר הצעדים הכי גדול שמכונה עם ...
צפיפות שנירלמן
צפיפות שנירלמן בודקת כמה מספרים מקבוצה A נמצאים בין המספרים הראשונים. זה כלי בשדה שנקרא תורת המספרים האדיטיבית. שם חוקרים סכומי מספרים מקבוצות שונות. A(n) הוא כל מה שב-A ועד המספר n. צפיפות שנירלמן היא המספר הגדול δ כזה שלכל n יש לפחות δ·n איברים של A עד n. כלומר, זה אומר איזה חלק מהמספרים הראשונים...
פונקציית החלוקה (תורת המספרים)
חלוקה של מספר פירושה להציג אותו כסכום של מספרים חיוביים. לא מפריע אם משנים את הסדר. למשל 5 = 3+1+1. מספר החלוקות של מספר מסומן p(n). לדוגמה p(3)=3 ו-p(4)=5. הערכים הראשונים הם 1,2,3,5,7,11,15,22,30,42. המספרים האלה גדלים מאוד במהירות. לדוגמה p(100) שווה 190,569,292. אילר גילה דרך חכמה למקם את כל ...
חבורת אוילר
חבורת אוילר היא קבוצת מספרים שלא מתחלקים ב-n. עושים בהם כפל ושומרים רק את השארית אחרי חילוק ב-n. את הקבוצה כותבים U_n. אם שני מספרים לא מתחלקים ב-n, גם המכפלה שלהם לא תתחלק ב-n. לכן הקבוצה סגורה לכפל. לכל מספר כזה יש גם מספר אחר שמכפיל אותו ומקבל 1 בשארית. המספר הזה נקרא הופכי. מספר האיברים בקבוצה...
מאט דיימון
מאט דיימון נולד ב-1970 בקיימברידג', מסצ'וסטס. הוא שחקן וסופר תסריטים. הוא זכה באוסקר (פרס קולנוע גדול) על כתיבת הסרט "\u05e1\u05d9\u05e4\u05d5\u05e8\u05d5 \u05e9\u05dc \u05d5\u05d9\u05dc \u05d4\u05d0\u05e0\u05d8\u05d9\u05e0\u05d2". בגיל צעיר שיחק בהצגות בבית ספרו. הוא התחיל ללמוד בהרווארד ב-1988...
שיטת האב
שיטת האב היא דרך קצרה לדעת כמה זמן לוקח אלגוריתם שמחלק בעיות לבעיות קטנות. אלגוריתם רקורסיבי חוזר על עצמו על תת־בעיות. כדאי לזכור שלושה דברים שמשפיעים על הזמן: - כמה תת־בעיות יש (קוראים לזה a). - כמה קטנות הן התת־בעיות (קוראים לזה b). - כמה עבודה עושים בלי שוברים את הבעיה (קוראים לזה f(n)). אם ה...
מספר חסר
מספר חסר הוא מספר שבו סכום כל המחלקים שלו קטן מ‑2 כפול המספר. σ(n) היא פונקציה שמחשבת את סכום כל המחלקים החיוביים של n. היא כוללת גם את n עצמו. ההפרש 2n−σ(n) נקרא "החסרות". דוגמאות של מספרים חסרים: 1, 2, 3, 4, 5. יש אינסוף מספרים חסרים. עוד עובדה פשוטה: כל מספר ראשוני וחזקות שלו הם חסרים. ...
הגנת קארו-קאן
הגנת קארו-קאן היא פתיחה בשחמט. פתיחה היא כמה מהלכים ראשונים במשחק. המהלך מתחיל ברוב הפעמים כך: הלבן דוחף רגלי ל־ה4, והשחור מגיב באופן עקיף. רגלי זה נקרא pawn. הקארו-קאן ישנה הרבה שנים. שחקנים כבר שיחקו בה במאה ה-16. מה טוב ומה לא: היתרון הוא שהשחור בונה מגן חזק סביב המלך. החיסרון הוא שהמרכז יכול...
הגנה צרפתית
ההגנה הצרפתית היא פתיחת שחמט. השחור משחק בצורה מוגנת. המהלכים העיקריים הם ...e6 ואז ...d5. הרגלים (pawn) במרכז נלחמים אחד בשני. הלבן יכול לדחוף את הרגלי e4-e5. זה יוצר לוח סגור ולעתים קרובות משחק איטי. אם יש החלפה במרכז, הלבן עלול להישאר עם רגלי מבודד. רגלי מבודד זה רגלי בודד במרכז. שחקנים ידוע...
הכללה (מתמטיקה)
הכללה אומרת: לוקחים משהו מתמטי קטן ועושים אותו כללי יותר. הדבר הקטן נשאר מקרה מיוחד. יש טענה פשוטה: a^3-a מתחלק ב-3. הסבר קצר: a^3-a = a·(a-1)·(a+1). זהו מכפלה, חיבור של מספרים אחד אחרי השני. בשלושה מספרים עוקבים אחד מהם מתחלק ב-3, ולכן כל המכפלה מתחלקת ב-3. אם a=2, אז 6 מתחלק ב-3. יש חוק כללי ...
פונקציית מביוס
פונקציית מביוס נקראת μ(n). זוהי חוק שמקבל מספר טבעי ומחזיר מספר אחר. אם ל-n יש גורם ריבועי, כלומר מספר שהוא כפולה של מספר בעצמו, אז μ(n)=0. אם אין כזה גורם, סופרים כמה ראשוניים שונים מחלקים את n. אם המספר הזה זוגי μ(n)=1. אם הוא אי־זוגי μ(n)=-1. למשל μ(1)=1 ו-μ של ראשוני הוא -1. (ראשוני הוא מספר ...
מחלק
מספר a הוא מחלק של מספר b אם יש מספר שלם c כך ש‑b=a·c. זה אומר שהחלוקה של b ב‑a לא נותנת שארית. דוגמה פשוטה: 5 מחלק את 35 כי 35=5·7. אבל 5 לא מחלק את 33. חוקים קצרים: אם a מחלק b וגם b מחלק c אז a מחלק גם את c. כל מספר מחלק את עצמו. אפס מחלק אפס אבל חלוקה ב‑0 אינה נכונה. לכל מספר טבעי יש מספר מס...
מספרים זרים
מספרים נקראים זרים אם אין להם אף מספר ראשוני משותף חוץ מ־1. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב־1 ובעצמו. למשל 1496 ו־19695 אינם חולקים אף ראשוני. שלושה מספרים יכולים להיות זרים יחד גם אם זוגות מהם לא זרים. דוגמה פשוטה: 6, 10 ו־15. אם אפשר להכפיל ולחבר שני מספרים ולקבל 1, אז הם זרים. יש שיטה בשם אלגור...
משפט אוילר
משפט אוילר אומר רעיון פשוט וחזק בעשרון המודולרי. אוילר פרסם אותו ב-1744. הוא חשוב גם בהצפנה, למשל ב-RSA. אם a ו-n "זרים" זה לזה, אז a בחזקת φ(n) נותן תוצאה של 1 מול n. "זרים" פירושו שאין להם מחלק משותף חוץ מ-1. φ(n) (פי של n) הוא כמה מספרים קטנים מ-n הם זרים ל-n. דוגמה קטנה: ל-n=15 יש φ(15)=8. לכן...
נטייה מגנטית
נטייה מגנטית היא הזווית בין מחט המצפן לצפון האמיתי. צפון אמיתי זה המקום שבאמת הוא הצפון בכדור הארץ. השדה המגנטי סביבנו יש לו חלק אופקי וחלק שמצביע למעלה או למטה. המחט מצביעה על החלק האופקי. הזווית בין הכיוונים נקראת נטייה (Declination). גם יש זווית אחרת שנקראת הרכנה (Inclination). (Inclination = זו...
ג'וני קאש
ג'וני קאש נולד ב־1932 ונפטר ב־2003. הוא היה זמר מפורסם אמריקאי. אנשים כינו אותו "האיש בשחור" כי לבש בגדים שחורים. הוא גדל בארקנסו ועבד בשדות כותנה כילד. משפחתו עברה קשיים והצפות. שמעתיו ברדיו השפיעו עליו. הוא למד מוזיקה ושינה את שמו לג'וני כשגדל. אחרי הצבא עבר לממפיס וניגן עם להקה. בקולו העמוק ו...
אפקט סטרי
אטומים תופסים מקום בחלל. אם הם מתקרבים יותר מדי, ענני האלקטרונים שלהם נוגעים זה בזה. אז הם דוחפים אחד את השני החוצה. דחייה זו נקראת דחיית פאולי או בורן (כוח שמתרחש כשענני האלקטרונים חופפים). זה יכול לשנות את הצורה של המולקולה (קונפורמציה = איך המולקולה מסודרת). הדבר חשוב בכימיה ובגוף החי. אנזימים (...
לאקי לוצ'יאנו
צ'ארלס לוצ'יאנו נולד בסיציליה ב-1897. הוא עבר לארצות הברית כשהיה ילד. לוצ'יאנו הצטרף לעולם המאפיה. מאפיה (ארגון פשע) זו קבוצה שעושה עבירות. הוא הכיר את מאיר לנסקי והם נעשו חברים. בזמן מריבות בין כנופיות היו קרבות על השליטה. פעם נחטפו והוכו, ואז קראו לו "לאקי" כי ניצל. לוצ'יאנו ולנסקי רצו לשנות מי ...
חזי ניר
חזי ניר נולד ב-6 באפריל 1968. הוא נגן קרן. קרן היא כלי נשיפה עם צליל עמוק. בין השנים 1994 ל-2018 הוא היה ראש קבוצת הקרנות בתזמורת הסימפונית ראשון לציון. הוא למד מוזיקה בתל אביב ובפרנקפורט. הוא הופיע כסולן והשתתף בפסטיבלים, למשל בפסטיבל דאבוס בשווייץ. היום הוא מנגן בתזמורת הקאמרית הישראלית ומלמד מו...
עצם הגומד
עצם הגומד נקראת גם אולנה. היא עצם ארוכה באמה. היא נמצאת בין הזרוע לבין שורש כף היד. היא רחבה בחלק העליון וצרה בחלק התחתון. בחלק העליון יש בליטה גדולה בשם זיז המרפק. זיז המרפק נוחה למישוש מתחת לעור. יש גם בליטה שנייה שנקראת זיז הויתי. בין הבליטות יש חריץ. החריץ מתחבר לעצם הזרוע ומאפשר כיפוף וישור ש...
בוטאריטארי
בוטאריטארי הוא אטול, אי אלמוגים עם לשונית ועם לברשת מים במרכז. הוא נמצא במרכז האוקיינוס השקט. האטול שייך לאיי גילברט שבקיריבטי. יש שם שלושה איים עם אנשים: מקין, קייבו ואון. פעם קראו לכל האטול "מקין", לכן האי נקרא גם "מקין הקטן". שטח האטול כ-13.6 קמ"ר. גרים בו כ-4,200 איש (2002). האי מקין הוא הגדו...
עומק שדה
עומק שדה הוא הקטע בתמונה שמתקבל חד. אם הקטע גדול, יש הרבה פריטים חדים. אם הקטע קטן, רק הנושא חדה והרקע מטושטש. יש שלושה דברים שקובעים את עומק השדה: אורך המוקד של העדשה, גודל פתח העדשה (צמצם), והמרחק לנושא. עדשה עם מוקד קצר נותנת עומק שדה גדול. צמצם סגור (מספר F גדול) גם מגדיל את עומק השדה. כשהאובי...
תכונת החיתוך הסופי
אוסף קבוצות יש לו את תכונת החיתוך הסופי אם בכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת. חיתוך = הנקודות שמופיעות בכל הקבוצות. לדוגמה, יש משפחה של קטעים שמתקצרים כל פעם. לכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת, אבל אין נקודה שמשותפת לכולם. קומפקטי (קומפקטיות) אומר: אם כל נקודה במרחב מכוסה על ידי רשימת קבוצות פתוחות, א...
הומו הביליס
פליסטוקן, הומו הביליס פירושו "האדם המיומן". זהו מין אדם קדום. שרידיו נמצאו בעיקר במזרח אפריקה. הם בני כ־2.3, 1.4 מיליון שנה. הראשונים שמצאו את השרידים היו בני הזוג ליקי. הם חפרו בערוץ אולדובאי בטנזניה בשנות ה־60. לידם נמצאו כלי אבן פשוטים. שיטה זו ליצירת כלי נקראת אולדובאי. ייתכן שהביליס עשה את ...
אייאן חירסי עלי
אייאן חירסי עלי נולדה ב-1969 בסומליה. משפחתה הייתה מוסלמית. כשהייתה קטנה עברה עליה דבר שנקרא השחתת איבר המין הנשי. זה נוהג שפוגע בגוף של ילדות. בגיל שמונה המשפחה הפכה לפליטים ועברה למקומות שונים עד שקבעו את ביתם בהולנד. כשהייתה צעירה היא ביקשה מקלט שם. היא קיבלה אזרחות הולנדית ב-1997. בהולנד למדה...
פונקציית מחלקים
פונקציית מחלקים עוסקת במחלקים של מספרים. הפונקציה לוקחת מספר וחושבת סכום של כל המחלקים שלו, כאשר אפשר להרים כל מחלקה בחזקה x. אם x=0 היא סופרת כמה מחלקים יש. אם x=1 היא מסכמת את כל המחלקים. מספר ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים: 1 והמספר עצמו. במקרה כזה סכום המחלקים הוא p+1. כשמפרקים מספר ...
אילזה קוך
אילזה קוך (1906, 1967) הייתה שומרת במחנות ריכוז בזמן מלחמת העולם השנייה. מחנה ריכוז = מקום בו אסרו אנשים בלי משפט. היא נולדה בדרזדן. עבדה כמזכירה והצטרפה למפלגה הנאצית. נישאה לקארל קוך ועברה לחיות במחנות בהם הוא היה מפקד. אילזה נהגה להיות אכזרית כלפי האסירים. אנשים ראו אותה מכה ואונסת, זאת אומרת ...
מיון סלים
מיון סלים הוא דרך למיין מספרים על ידי חלוקה ל"סלים". "סל" כאן זאת קבוצה קטנה של ערכים. מכירים את הרעיון של לשים פריטים בקופסאות לפי טווח? כך עובדת השיטה. מחלקים את הטווח של המספרים לכמה סלים. כל מספר נכנס לסל לפי החלק השלמ (floor) של החלוקה. אחרי שמכניסים הכל, ממיינים כל סל בנפרד. מכיוון שהסלים קט...
מבחן לוקאס-להמר
מבחן לוקאס-להמר עוזר לבדוק אם מספר גדול הוא ראשוני. ראשוני פירושו שאין לו מחלקים חוץ מ-1 ומהמספר עצמו. הרעיון: בוחרים מספר קטן שנקרא עד (זה מבחן לבדיקה). מבצעים חישובים מיוחדים עם העד והמספר n. אם העד ממלא את הדרישות, אז n הוא בוודאות ראשוני. יש בעיה קטנה: צריך לדעת איך לפרק את n−1 לגורמים. פירוק ...
נדידת היבשות
לפני מיליוני שנים כל היבשות היו יחד ביבשת אחת בשם פנגיאה. פנגיאה התפרקה. נוצרו יבשות כמו לאוראסיה בצפון וגונדבאנה בדרום. בין היבשות היה ים גדול שנקרא טתיס. כדור הארץ עטוף ב"לוחות". לוח הוא חתיכה של קרום כדור הארץ. הלוחות זזים לאט, רק סנטימטרים בשנה. בתחתית הים יש רכסים שבהם נוצרת קרקעית חדשה. זה נ...
התפלגות היפרגאומטרית
התפלגות היפרגאומטרית עוזרת לדעת כמה הצלחות יהיו כשמוציאים פריטים בלי להחזיר. "ללא החזרה" אומר שאם מוציאים פריט, לא שמים אותו חזרה. "הצלחה" כאן היא פריט שמעניין אותנו. למשל כדור לבן. בדוגמה: בכד יש N כדורים. מתוכם D לבנים ו-S אחרים. מוציאים n כדורים בלי להחזיר. ההתפלגות עוזרת להעריך כמה כדורים לבנ...
הממלכות החתיות החדשות
הממלכות החתיות החדשות היו קבוצת מדינות קטנות אחרי נפילת האימפריה החתית. הן התקיימו בערך מ־1178 עד 700 לפני הספירה. ערים חשובות היו כרכמיש, מליד וכמה ערים בלבנט כמו חמת וחלב. לצדן היו גם ממלכות ארמיות כמו ארפד. האנשים במקום לא היו כולם חתים. רובם דיברו לווית. לווית זו שפה שונה. הם כתבו בכתב היירוגל...
כלכלת רומניה
רומניה היא מדינה באירופה עם כלכלה גדולה. מאז 1990 הכלכלה הפכה לשוק חופשי. בוקרשט היא עיר חשובה לתעשייה ולבנקאות. לפני מלחמת העולם השנייה רוב האנשים עבדו בחקלאות. אחרי 1948 השלטון הקומוניסטי ניהל את הכלכלה והתעשייה. אחרי 1990 החלו להחזיר עסקים לידי בעלי בית פרטיים. המטבע של רומניה הוא הלאו (Leu)...
משפט טיכונוף
משפט טיכונוב אומר: אם כל אחד מהמרחבים בקבוצה הוא קומפקטי, אז גם המרחב שמורכב מהם יחד (המכפלה) קומפקטי. קומפקטיות פירושה: כל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות פתוחות ניתן לכסות בעזרת מספר סופי מהן (כלומר לא צריך אינסוף קבוצות). טיכונוב הוכיח את זה בתחילת המאה ה־20. אחת ההוכחות מסתכלת על קבוצות פתוחות שמ...
שילוש דלוני
שילוש דלוני (או תילות דלוני) מחלק את המישור למשולשים כך שכל נקודה היא קודקוד של משולש. המשמעות החשובה היא: אין נקודה שנמצאת בתוך המעגל שעובר דרך שלושת קודקודי משולש. (מעגל שעובר דרך כל שלושת הקודקודים זה מעגל חוסם.) בשילוש כזה המשולשים בדרך כלל עבים ולא דקים. = הגדרה פורמלית = יש כמה דרכים שוות להג...
אלגוריתם בלמן-פורד
בלמן-פורד הוא אלגוריתם למציאת המסלול הקצר. גרף מכוון וממושקל זה רשת עם חצים ומספרים על החצים. האלגוריתם מוצא את הדרך הקצרה מצומת אחד לכל שאר הצמתים. הוא יודע לעבוד גם אם לחצים יש מספרים שליליים. אם קיים "מעגל שלילי" אפשר להקטין את המשקל שוב ושוב. האלגוריתם מזהה את הבעיה הזאת. מורידים מרחקים בעזרת פ...
אלגוריתם הפרד ומשול
הפרד ומשול היא דרך לפתור בעיות על ידי חלוקה לחלקים קטנים יותר. כל חלק הוא בעיה דומה. אחרי שמפתרים את כל החלקים, מחברים את התשובות ביחד. אומרים שהדרך היא רקורסיה. רקורסיה זו קריאה של פונקציה לעצמה. אפשר גם לעשות את זה בלי רקורסיה, בעזרת מחסנית (מבנה שמאחסן דברים לפי סדר). השיטה טובה לבעיות קשות. אם...
חיפוש בינארי
חיפוש בינארי (גם "אריה במדבר") מוצא מקום של מספר במערך סדור. סדור פירושו שהמספרים מסודרים מהקטן לגדול. המטרה היא לדעת היכן נמצא מספר בתוך רשימה ממוּיינת. השיטה חוסכת הרבה בדיקות. בודקים את האיבר באמצע הרשימה. אם זה המספר, מסיימים. אם המספר קטן יותר, מחפשים בחצי השמאלי. אם גדול יותר, מחפשים בח...
הסריקה של גראהם
''הסריקה של גראהם'' הוא אלגוריתם למציאת הקמור של קבוצת נקודות. הקמור הוא הקו החיצוני שמקיף את כל הנקודות. ראשית מסדרים את הנקודות לפי סדר מסוים. אחרי זה עוברים עליהן ומוסיפים כל נקודה ל"קופסה" מיוחדת. הקופסה היא מחסנית, אפשר להוסיף ולשים רק מהמקום העליון. בכל צעד בודקים אם הנקודה החדשה שומרת על ...
מינים בסכנת הכחדה
, תת-מין של טיגריס בסכנה רבה. זה קרה בגלל כריתת יערות, ציד ופחות טרף. "מינים בסכנת הכחדה" הם חיות שיכולות להיעלם מהעולם כולו. זה לא אומר שאוכלוסייה קטנה במקום מסוים היא הכחדה עולמית. למשל, אם נשר לא יראה יותר בישראל, הוא עדיין לא נכחד אם יש רבבות כמותו במקום אחר. "סכנת התמעטות" היא ירידה במספר הח...
מספר רב משוכלל
מספר רב משוכלל הוא מספר שסכום כל המחלקים שלו שווה ל‑k פעמים המספר. מחלקים הם מספרים שחולקים את המספר בלי שארית. אם k=2 זה נקרא מספר משוכלל. נכון לינואר 2009 ידועים כאלה עד מסדר 11....
מערך (מבנה נתונים)
במחשב, מערך הוא קבוצה של פריטים שפזורת להם במקומות רצופים בזיכרון. זיכרון זהו המקום שבו המחשב שומר נתונים. לכל פריט במערך יש מספר שאומר איפה הוא נמצא. מספר זה נקרא אינדקס. ברוב המערכות האינדקס של הפריט הראשון הוא 0. האינדקס עוזר לגשת לפריט במהירות. מערכים חוסכים מקום כי תופסים בדיוק את מה שצריך. א...
חוק ליטל
חוק ליטל עוסק בקבוצות שמחכות בשירות. הרעיון המרכזי פשוט: מספר האנשים הממוצע במקום שווה לכמה אנשים נכנסים בזמן אחד, כפול כמה זמן כל אחד נשאר. הסבר מילים: "קצב הגעה" זה כמה אנשים נכנסים לשעה. "זמן שהייה" זה כמה זמן כל אחד נשאר במערכת. "ניצולת" זה כמה מהזמן העובד אכן משרת אנשים. בחנות קטנה הלקוח נכנס...
מחלת פרקינסון
מחלת פרקינסון היא מחלה שמשפיעה על המוח וגורמת לבעיות בתנועה. המוח מכיל אזור שנקרא חומר שחור. תאים שם עושים חומר שנקרא דופמין. דופמין הוא חומר שעוזר לגוף לזוז בקלות. כשהתאים האלה ניזוקים, יש פחות דופמין והאדם מתקשה לזוז. התסמינים העיקריים הם רעד במנוחה, איטיות בתנועה, שרירים קשיחים ובעיות שיווי משק...
אלי אוחנה
אליהו (אלי) אוחנה נולד ב-1964. הוא היה שחקן כדורגל מפורסם. הוא שיחק בעיקר כחלוץ. חלוץ הוא שחקן שתפקידו לכבוש שערים. אוחנה גדל בירושלים והצטרף לנוער של בית"ר בגיל 12. בגיל 16 שיחק בקבוצה הבוגרת. הוא כבש המון שערים והפך לכוכב. הוא שיחק גם במועדון באירופה בשם מכלן. שם זכה בתואר חשוב בשם גביע המחזיקות...
היסטוריה של אירלנד
באי גרו אנשים כבר לפני אלפי שנים. לפני כ-12,700 שנים היו שם ציידים. לפני הרבה זמן החלו אנשים לגדל צמחים ובעלי חיים. הם בנו קברים מאבן. קבוצות קלטיות הגיעו והשפיעו על השפה והמסורת. במאה ה-5 הגיעו הנוצרים. נזירים למדו ויצרו ספרים יפים. בסוף המאה ה-12 הגיעו אבירים נורמנים. הם בנו ערים וחיזקו א...
חבורה אבלית
חבורה אבלית חבורה אבלית היא קבוצה עם פעולה שבה הסדר לא משנה. כלומר, a*b = b*a. זה דומה לחיבור של מספרים. הדוגמה הכי פשוטה היא המספרים השלמים עם חיבור. גם מרחב של וקטורים הוא חבורה אבלית תחת חיבור. אם יש חבורה אבלית, תת־חבורות או מנה שלהן גם אבליות. לעתים מרחיבים חבורה באחרת וזה משנה תכונות. במקום...