מערכת האקסיומות של הילברט
דויד הילברט בנה ב-1899 קבוצה של 20 אקסיומות. אקסיומה היא הנחה בסיסית שלא מוכיחים. המטרה הייתה לבנות חוקי יסוד לגאומטריה, במקום התיאורים הישנים של אוקלידס. המערכת מדברת על שלושה דברים בסיסיים: נקודה (נקודה = מיקום בלי גודל), ישר (קו שאפשר להושיט בלי כיפוף) ומישור (משטח שטוח). יש גם יחסים חשובים: ח...
אקסיומות המנייה
אקסיומות המנייה מדברות על כמה קבוצות יש במרחב טופולוגי. אם הקבוצות האלה אפשר לספור אותן, אומרים שהן בנות מנייה. מרחב טופולוגי הוא מקום עם קבוצות שנקראות פתוחות. בסיס הוא אוסף קטן של קבוצות פתוחות. כל קבוצה פתוחה נבנית מאיחוד של קבוצות מהבסיס. בסיס מקומי הוא אוסף כזה סביב נקודה מסוימת. אקסיומת המני...
אקסיומות ההפרדה
אקסיומות ההפרדה הן חוקים על מרחבים טופולוגיים. טופולוגיה היא אוסף של "אזורים פתוחים" במרחב. החוקים עוזרים להבין מתי אפשר להבדיל בין נקודות או קבוצות. בדרך הקלה מפרידים שתי נקודות על ידי שתי קבוצות פתוחות שונות. זה כמו לשים כל נקודה בבלון שונה. אפשר גם להפריד בעזרת סביבות סגורות. סביבה היא קבוצה ש...
אקסיומות ההסתברות
אקסיומות ההסתברות הן כללים פשוטים שמגדירים איך נותנים מספרים להסתברות. המפורסם שבהן נקרא קולמוגורוב. Ω הוא מרחב המדגם, כל התוצאות האפשריות. 𝓕 היא סיגמא-אלגברה (רשימת המאורעות שאנו מחשבים להן הסתברות). P היא פונקציה שמאגדת את המספרים האלה. הכללים הם: - לכל אירוע ההסתברות לא שלילית. זה אומר P(E) ≥...
עץ סיפות
עץ סיפות הוא מבנה נתונים לשמירת כל הסיומות של מילה. סיומה היא סוף של מחרוזת. העץ עוזר לחפש האם חלק מהמילה קיים בתוכה. לרוב מוסיפים בסוף תו מיוחד, למשל $, כדי לסמן את סוף המחרוזת. זה מונע שסיומה אחת תתחיל כמו סיומה אחרת. עצי סיפות הומצאו ב‑1973 על ידי ווינר. אחר כך, ב‑1976, מקרייט שיפר את הדרך לבנו...
עקביות (לוגיקה)
עקביות אומרת שאין סתירה בתוך מערכת חוקים. אם יש סתירה, אפשר להוציא ממנה דברים לא נכונים. אקסיומות הן חוקים בסיסיים. מודל הוא מבנה שמקיים את כל החוקים האלה. אם מוצאים מודל לתורה, זו הוכחה שהיא עקבית. יש דוגמאות מהגאומטריה, שבהן הראו עקביות ביחס לגאומרת המישור האוקלידית. גדל הראה ב-1930 שלכל קבוצה ע...
טקסון
טקסון זה קבוצה של יצורים שדומים זה לזה. טקסון = קבוצת מיון. לעתים מדענים לא מסכימים מי שייך לאיזו קבוצה. טקסון טוב הוא כזה שיצורים בו דומים גם ב-DNA. DNA זה החומר שבתאים שמעביר תכונות מההורים לילדים. לדוגמה, לטימריה קרובה יותר לאדם מבחינת ה-DNA מאשר לטרוטה. יש גם טקסונים שנראים דומים מבחוץ אבל לא ...
.il
il. היא סיומת של אתרי אינטרנט שקשורים לישראל. סיומת זו נקראת ccTLD. זה אומר קוד מדינה לשם אתר. הסיומת il. נרשמה ב‑24 באוקטובר 1985. היא הייתה השלישית אחרי us. ו‑uk.. במאי 2020 אושרה גם הסיומת ".ישראל". רישום מוקדם התחיל באמצע 2022. יש שמונה תת‑סיומות של אתרים בישראל. לפעמים משתמשים בהן לא נכון. למש...
כלל היסק
כללי היסק הם כללים שמראים איך להגיע ממחשבה אחת לאחרת. לדוגמה: כל הברווזים הם עופות. כל העופות בעלי כנף. לכן הברווזים בעלי כנף. יש כלל שמקצר את זה: אם "אם P אז Q" ו־P נכון, אז Q נכון. קוראים לזה מודוס פוננס. יש גם כלל שמאפשר להסיק לא P אם ידוע שלא Q. כללי ההיסק עובדים על צורת המשפטים (זה נקרא תחביר...
פילוסופיה של המתמטיקה
פילוסופיה של המתמטיקה שואלת מה באמת המתמטיקה ומה הסיבה שהיא חשובה. שאלה חשובה היא אם מספרים ודברים מתמטיים קיימים תמיד, או שאנשים יצרו אותם. יש מי שחושב שאנו מגלים אותם, ויש מי שחושב שאנו ממציאים אותם. מתמטיקה בנויה על כללים יסודיים שנקראים אקסיומות. אקסיומות הן כללים שקובעים מה מותר ומה לא. כש...
תבנית:הידעת? 9 באוגוסט - סדרה 2
השערת הרצף ניסח גאורג קנטור. הילברט שם אותה במקום הראשון ברשימת הבעיות שלו ב-1900. הרבה מתמטיקאים ניסו להוכיח או להפריך אותה ולא הצליחו. ב-1937 קורט גדל הראה שהנחה שהיא נכונה מסתדרת עם כללי המתמטיקה הבסיסיים. ב-1963 פול כהן הראה שגם ההנחה ההפוכה מסתדרת עם אותם כללים. לכן לא ניתן להוכיח ולא להפריך א...
מבנה אלגברי
מבנה אלגברי הוא אוסף של איברים עם חוק או כמה חוקים. אוסף = קבוצה של דברים. חוק = כלל שחיבור או פעולה עושים. החוקים נקראים אקסיומות. אלה כללים שחייבים להתקיים. למדענים זה שימושי כי אפשר לקחת מספרים, כמו שלמים או ממשיים, ולבדוק רק את התכונות החשובות. לפעמים קוראים למבנה בשם של הקבוצה, כמו לקרוא לחבורה...
הוכחה
הוכחה היא סדרה של טענות שמראות שטענה מסוימת נכונה. כל טענה בונה על קודמתה בעזרת חוקים פשוטים. הפרכה היא הוכחה שהטענה לא נכונה. טענה שאף אחד עדיין לא הוכיח קוראים לה השערה. הוכחות משתמשות גם בשפה רגילה וגם בכללים ברורים. כדי למנוע בלבול אפשר לכתוב הוכחה פורמלית, שזה כמו הוראות ברורות ללא מקום לפרשנו...
טורקית
טורקית (Türkçe) מדוברת על ידי כ־56 מיליון אנשים בטורקיה ובמדינות קרובות. עד 1928 כתבו את הטורקית באותיות ערביות. אחרי זה אטאטורק החליף אותיות אלה באותיות לטיניות. רפורמה זה שינוי גדול במערכת הכתב. המטרה הייתה להתאים את הכתב לצלילי השפה ולהביא לשינוי. חלק מהמילים בטורקית הגיעו מערבית ומפרסית. היום ...
פרדוקס הספר
פרדוקס הספר הוא חידה מפורסמת שמיוחסת לברטרנד ראסל. הרעיון מתחיל מהגדרה של קבוצה. קבוצה היא אוסף של דברים. אם מגדירים "קבוצה של כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן" מתעוררת בעיה. הקבוצה הזו לא יכולה להכיל את עצמה, וגם לא יכולה שלא להכיל את עצמה. זו סתירה. כדי להימנע מבעיות כאלה המציאו צרמלו ופרנקל בתחי...
ארנסט צרמלו
ארנסט צרמלו נולד בברלין ב-1871. נפטר ב-1953. הוא היה מתמטיקאי ופילוסוף. למד מתמטיקה, פיזיקה ופילוסופיה באוניברסיטאות שונות. ב-1894 קיבל דוקטורט בנושא חשבון וריאציות. חשבון וריאציות הוא דרך למצוא פתרונות טובים לבעיות. עבד עם המדען מקס פלאנק ועבר לגטינגן ב-1897. שם התחיל לחקור תורת הקבוצות. תורת הקב...
23 הבעיות של הילברט
הבעיות של הילברט הן 23 שאלות חשובות במתמטיקה. הילברט כתב אותן ב-1900. הוא הראה תחילה עשר שאלות בכנס בפריז ואז הוסיף עוד 13. חלק מהשאלות נפתרו מהר. למשל הבעיה ה-3 נפתרה עוד באותה שנה. אחרות לקחו שנים רבות להשגה והשפיעו על מדענים רבים. חלק מהשאלות עזרו ליצור תחומים חדשים במתמטיקה. חלק מהשאלות עשויות...
תורת הקבוצות הנאיבית
תורת הקבוצות הנאיבית היא רעיון פשוט לקבוצות. קבוצה היא אוסף של דברים. את הרעיון גילה המתמטיקאי גאורג קנטור לפני יותר מאה שנים. קנטור חקר קבוצות של נקודות ותכונות שלהן. הוא פרסם מחקרים בסוף המאה ה-19. הגדרות חופשיות מדי יצרו פרדוקסים. פרדוקס זה נותן תשובה שסותרת את עצמה. נחפש את הקבוצה D של כל הקב...
אברהם הלוי פרנקל
אברהם (אדולף) הלוי פרנקל נולד במינכן ב־1891. הוא היה מתמטיקאי חשוב. פרנקל למד מתמטיקה בגרמניה וקיבל תואר דוקטור ב־1914. אחרי מלחמת העולם הראשונה לימד באוניברסיטאות בגרמניה. ב־1929 עלה לארץ ישראל והצטרף לאוניברסיטה העברית. עבד בעיקר על תורת הקבוצות. תורת הקבוצות חוקרת אוספים של חפצים. פרנקל חידש א...
עצמאות (לוגיקה מתמטית)
טענה עצמאית היא טענה שאי אפשר להוכיח ולא אפשר להפריך בעזרת החוקים של מערכת מתמטית. החוקים האלה נקראים אקסיומות. ב־1931 המתמטיקאי קורט גדל הראה שיש מערכות מתמטיות חזקות שבהן יש טענות כאלה. המשמעות היא שהמערכת לא יכולה להיות גם שלמה וגם ללא סתירות. שלמה אומרת שכל טענה מוכחת או נפרכת. ללא סתירות פירוש...
0.999...
שיטה רגילה לכתוב מספרים היא בעזרת נקודה ועשרות. למשל 13.4 אומר שיש 13 ולפחות חלק נוסף. אם אחרי הנקודה יש ספרות שנמשכות לעד, קוראים לזה פיתוח עשרוני אינסופי. זה אומר שלוקחים סכום קטן־קטן של חלקים, וממשיכים לנצח. הביטוי 0.999... אומר שיש אין־סוף תשיעיות אחרי הנקודה. במתמטיקה מקובל שאותו הביטוי שווה ...
הומיאקי הוזיטה
הומיאקי הוזיטה (1924, 2005) היה מתמטיקאי (עוסק במספרים), מדען ואמן אוריגמי (קיפול נייר). נולד ביפן ועבר לאיטליה ללמוד פיזיקה גרעינית (לימוד החלקים הפנימיים של האטום). הוא כתב כללים חשובים לקיפול נייר, שנקראים אקסיומות הוזיטה-האטורי (אקסיומות = כללים). נפטר ב-26 במרץ 2005....
אנדריי קולמוגורוב
אנדריי קולמוגורוב (1903, 1987) היה מתמטיקאי רוסי חשוב. נולד בטמבוב. אמו מתה בלידתו. דודתו גידלה אותו. למד בבית ואז באוניברסיטת מוסקבה. אהב מתמטיקה מאוד. היה תלמיד של ניקולאי לוזין. קיבל דוקטורט ב-1929. נסע לצרפת וגרמניה ב-1930. הפך לפרופסור ב-1931. ב-1939 התקבל לאקדמיה. נישא ב-1942. ב-1960 שיפר את ...
שם משפחה יהודי
שם משפחה יהודי בדרך כלל מצביע על משפחה או על מקום שממנו באו. פעם לא היו שמות משפחה קבועים. אנשים נקראו "בן" או "בת" של האב. בימים רחוקים אנשים קיבלו שמות מצרכי החיים. רק בחלקים כמו ספרד היו שמות משפחה מוקדם יותר. ממשלות רצו לדעת מי גר איפה. לכן חייבו אנשים לבחור שם משפחה. זה קרה באירופה במאות ה‑18...
פורטל:ערכים מומלצים/ערכים/יסודות (ספר)
"יסודות" נכתב על ידי אוקלידס לפני כאלף שנתיים לפני הספירה. הספר מחולק ל־13 חלקים. הוא מסדר הגדרות וחוקים חשובים במתמטיקה. הרבה מהחלקים עוסקים בגאומטריה. יש גם חלקים על תורת המספרים (חקר מספרים) ואלגברה פשוטה. "יסודות" הוא מהספרים העתיקים שהשפיעו מאוד על המתמטיקה והמדע. עותקים של הספר עברו מביזנטי...
תורה (לוגיקה מתמטית)
תורה בבבלוגיקה היא רשימה של כללים ושפה מתמטית. אקסיומה היא משפט שמקבלים כנכון בתוך הרשימה. משתנה חופשי הוא משתנה שלא קשור בכמותים כמו "לכל" או "קיים". לשפה עצמה אין פירוש עד שבוחרים מודל, כלומר מבנה שמתאים לסימנים. דמיינו מסעדה: P אומר "זו צלחת" ו‑A(x,y) אומר ש‑x ו‑y יושבים באותו שולחן. אז חוק יכו...
תחשיב הפסוקים
תחשיב פסוקים הוא דרך רשמית לבדוק טענות אמיתיות או שקריות. המערכת מסתכלת רק על "אמת" ו"שקר", לא על התוכן. אם אומרים: "אם חרק הוא נמלה אז הוא חי בתל" ו"החרק הוא נמלה", אז המסקנה היא שהוא חי בתל. זהו סוג של חשיבה לוגית פשוטה. משנים משפטים לאותיות קבועות. כל אות מייצגת טענה אחת. קשרים חשובים: - שלילה...
מרחב נורמי
מרחב נורמי הוא מקום עם וקטורים. נורמה היא דרך למדוד אורך של וקטור. היא נותנת תמיד מספר חיובי, שווה אפס רק בווקטור האפס, ומשתנה נכון כשמכפילים במספר. עוד כלל חשוב הוא אי־שוויון המשולש: אורך סכום לא גדול מסכום האורכים. מרחב בנך הוא מרחב נורמי שהוא שלם (אין בו 'חורים'). שתי נורמות שקולות אם אפשר להשוות...
מספר טבעי
מספרים טבעיים הם 0, 1, 2, 3, ועוד. יש שמתחילים מ‑1 במקום מאפס. הם משמשים לספירה. ילדים לומדים אותם ראשון. מספרים יכולים להיות זוגיים. זוגי = מתחלק ב‑2 בלי שארית. יכולים להיות גם אי‑זוגיים. הקבוצה שלהם אינסופית. אינסוף = אין סוף, לא נגמרים. רעייון המספר נובע מספירה: שלושה תפוחים, שלושה ילדים. יש ...
אלגברה מופשטת
אלגברה מופשטת חוקרת מבנים מתמטיים. מבנים אלה הם קבוצות עם חוקים. דוגמאות: חבורה (קבוצה עם פעולה), חוג (יש שתי פעולות), ושדה (אפשר לחלק מספרים פרטיים). אלגברה ליניארית היא חלק מהתחום. היא עובדת עם וקטורים. וקטור יכול להיות רשימה של מספרים. לומדים גם מטריצות, שהן טבלאות מספרים שמייצגות פעולות על וקטו...
חוג (מבנה אלגברי)
חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c. אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל. איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים ...
אלגברה אלטרנטיבית
אלגברה אלטרנטיבית היא מערכת חוקים לכפל שאינה בהכרח אסוציאטיבית. אסוציאטיביות אומרת ש־(ab)c תמיד שווה ל־a(bc). באלגברה אלטרנטיבית יש שני חוקים פשוטים עם כפולות של אותו איבר. חוק אחד אומר שכשם שחוזרים על האיבר הראשון, אפשר לשנות את הסוגריים בלי לשבור את החוקים. החוק השני דומה לחזרה על האיבר השני. מש...
גאומטריה אוקלידית
גאומטריה אוקלידית מדברת על נקודות, קווים ומעגלים. נקודה היא נקודה קטנה בלי גודל. ישר הוא קו ארוך שאפשר להמשיך אותו בלי סוף. מעגל הוא קו סביב נקודת מרכז במרחק קבוע. זווית היא הפינה בין שני קווים. היוונים קבעו חוקים פשוטים שעוזרים לבנות משפטים. החוקים העיקריים: 1. אפשר לצייר קו ישר בין שתי נקודות. 2....
קבוצה (מתמטיקה)
קבוצה היא אוסף של דברים. אוסף זה יכול להכיל חיות, מספרים או דברים אחרים. דברים שנמצאים בקבוצה נקראים איברים. אם משהו הוא איבר, הוא שייך לקבוצה. רשומים קבוצות בתוך סוגריים כמו {כלב, חתול, צרצר}. הסדר לא חשוב. לא כותבים איבר פעמיים. קבוצה יכולה להיות קבוצת חיות, קבוצת מספרים או כל אוסף אחר. אפשר ...
אוקלידס
אוקלידס (365, 275 לפנה"ס) היה מתמטיקאי יווני מפורסם. הוא עובד באלכסנדריה במצרים. אנו יודעים מעט על חייו. רוב המידע אודותיו הגיע מאנשים שכתבו עליו מאות שנים אחרי מותו. יתכן שלמד באקדמיה של אפלטון. אוקלידס כתב ספר גדול בשם "היסודות". הספר מסדר רעיונות במתמטיקה בצורה ברורה. הוא השתמש באקסיומות. אקסיו...
הגדרה
הגדרה היא תיאור ברור של מושג. מושג = רעיון או חפץ. ההגדרה עוזרת להבין מה הדבר בדיוק. אריסטו אמר להגדיר לפי סוג והבדל. למשל: "כלב = בעל חיים (הסוג) + נובח (ההבדל)". הגדרה טובה כותבת רק את התכונות החשובות. דוגמה למטוס: לא מספיק לומר "עצם שעף". מטוס הוא "מכונה שטסה בעזרת מנוע". קשה להגדיר דברים יסודי...
תורת הקבוצות האקסיומטית
תורת הקבוצות האקסיומטית היא דרך מסודרת לדבר על קבוצות. קבוצה, אוסף של דברים. לפני כמאה שנים ראסל גילה בעיות בתיאורים פשוטים של קבוצות. הבעיות אלו גרמו למתמטיקאים ליצור חוקים ברורים. צרמלו ופרנקל עזרו לבנות את המערכת החדשה הזו. המתמטיקאים עובדים בעיקר עם ZFC. זו מערכת של חוקים בסיסיים על קבוצות....
משפטי האי-שלמות של גדל
קורט גדל היה לוגיקן שהוכיח בשנות ה-30 שני משפטים חשובים. הם מראים שלמערכות חוקים במתמטיקה יש גבולות. מערכת אקסיומות היא קבוצה של כללים בסיסיים. אם המערכת ברורה ומכאנית, אפשר לבדוק חוקים בה בצורה מדויקת. המשפט הראשון אומר שקיימת תמיד טענה שאי אפשר להוכיח או להפריך בתוך המערכת. הגדל בנה טענה שאומ...
גאומטריה
גאומטריה היא ענף במתמטיקה שעוסק בצורות. אלה כוללות נקודות, קווים, עקומות, משטחים ומעגלים. בגאומטריה משתמשים בכללים בסיסיים שנקראים אקסיומות. אקסיומה היא כלל שמקבלים כנכון בלי להוכיחו. מהאקסיומות בונים משפטים והוכחות. כך מגלים מתי שתי צורות זהות. היוונים העתיקים, ובעיקר אוקלידס, כתבו ספר חשוב שנקרא...
דויד הילברט
דויד הילברט (1862, 1943) היה מתמטיקאי חשוב. מתמטיקאי הוא אדם שעוסק במספרים וצורות. הילברט נולד ליד קניגסברג. למד שם והפך לפרופסור. ב-1895 עבר לגטינגן והיה שם דמות מרכזית. הוא עזר לחברים לעבור משרות אקדמיות, גם כשנמנעו מהם תפקידים מסיבות לא הוגנות. הילברט הוכיח חוק חשוב בתורת האינווריאנטים. זה מרא...
נקודה (גאומטריה)
נקודה היא מקום מדויק במרחב. היא אין לה גודל. בראשון אין אורך, רוחב או עומק. בגאומטריה משתמשים בחוקים פשוטים שקובעים מהי נקודה. החוקים הללו קוראים אקסיומות. אקסיומה היא חוק בסיסי שאינו מוכח. בני יוון תהו אם קו עשוי מנקודות. זנון (פילוסוף) הציג פרדוקסים על חלוקה אינסופית. זה אומר שממש קשה להבין אי...
סיומת אינטרנט
כתובת אתר מחולקת למילים שמופרדות בנקודות. החלק הימני נקרא סיומת אינטרנט. סיומת אינטרנט = Top-level Domain. הארגון שמחלק סיומות נקרא ICANN. יש שני סוגים של סיומות. אחת היא סיומות מדינה. אלה שתי אותיות, כמו .il או .fr. השנייה היא סיומות גנריות. אלה מיועדות לשימוש כללי, כמו .com או .org. ב-1985 הוקצו...
תורה אפקטיבית
תורה אפקטיבית היא תורה שאפשר לבדוק אם החוקים בה נכונים בעזרת מכונה. (מכונת טיורינג, סוג של מחשב תיאורטי.) בתורה יש אלפבית. אלפבית זה קבוצה קטנה של סימנים. טענות הן רצפים של סימנים מהאלפבית. יש אלגוריתם, הוראות ברורות, שבודק הוכחות. אם אין מכונה כזו, ייתכן שלא נוכל לבדוק אם ההוכחות בחוק נכונות....
מה שהצב אמר לאכילס
מה שהצב אמר לאכילס הוא שיחה קצרה ומשעשעת שכתב לואיס קרול ב-1895. הדמויות הן אכילס והצב, כמו בסיפור של זנון. הצב מראה לאכילס שלוש טענות. שתי טענות נראות כמו הנחות. הצב רוצה שהאחרת תתקבל כמסקנה. אכילס אומר שאפשר להסיק את המסקנה אם כותבים כלל שמחבר בין ההנחות למסקנה. הצב מבקש שכל כלל כזה ייכתב במחברת....
מתמטיקה
מתמטיקה עוסקת במספרים, בצורות ובשינויים. מתמטיקה עוזרת לספור ולמדוד. היא גם בודקת דפוסים וחוקים פשוטים. אנשים שלמדו מתמטיקה התקיימו כבר אצל המצרים ובבבל. היוונים פיתחו הוכחות גאומטריות. מאוחר יותר נולדו כלים כמו האלגברה והחשבון. - כמות: עבודה עם מספרים וחישובים. - מבנה: חקירת חוקים על אובייקטי...